針孔相機模型和相機鏡頭畸變模型
一、針孔相機模型
圖1. 針孔相機模型
針孔相機模型(如圖1所示)存在四個坐標系：世界坐標系、攝像機坐標系、圖像物理坐標系和圖像像素坐標系。假設現實世界的空間點的世界坐標系的坐標為Pw(Xw,Yw,Zw)，對應的攝像機坐標系坐標為Pc(Xc,Yc,Zc)，對應的圖像物理坐標系的坐標為P’(X’,Y’)，對應的圖像像素坐標系的坐標為p(u,v)。f為焦距（物理成像平面到光心O的距離）。
1. 世界坐標系到攝像機坐標系：這兩個坐標系之間除了旋轉矩陣R，還存在平移矩陣t。其關系可表示為：
（1）
2. 攝像機坐標系到圖像物理坐標系：相似三角形（如圖2所示）。其關系可表示為：
圖2. 相似三角形
（2）
變形為：
（3）
3. 圖像物理坐標系到圖像像素坐標系。如圖3所示，其關系可表示為：
圖3. 圖像物理坐標系和圖像像素坐標系
（4）
變形為：
（5）
其中dx表示每個像素沿着x軸的實際物理尺寸；dy表示每個像素沿着y軸的實際物理尺寸。(uo,vo)表示光心對應到圖像像素坐標系的坐標。
由公式(3)和(5)得到攝像機坐標系到圖像像素坐標系的關系：
（6）
由公式(1)和(6)得到世界坐標系到圖像像素坐標系的關系：
（7）
其中K表示相機的內參矩陣，fx, fy, uo and vo 表示相機的內參。R和t表示相機的外參。
二、相機鏡頭畸變模型
攝像機成像過程中存在兩種不同類型的畸變。一種是由透鏡的形狀引起的畸變稱為徑向畸變。另一種是相機組裝過程中透鏡和成像面不能嚴格平行引起的畸變稱為切向畸變。
徑向畸變：
（8）
切向畸變：
（9）
綜合以上兩種畸變，得到相機的畸變模型（去畸變后的圖像像素坐標系的坐標）：
（10）
后續可能更改和補充。
參考文獻：《視覺SLAM十四講 從理論到實踐》——高翔著。