短時傅里葉變換

時間分辨率和頻率分辨率

    時間分辨率：信號頻率隨時間變化，要將這種頻率變化分辨出來。自然，窗越短越好，以使得在窗內信號頻率近似不變。

    頻率分辨率：同一時間段有兩個（或更多）不同頻率的信號疊加在一起，要將這兩個信號分辨出來。那么，窗越長越好，以使得窗內兩個不同頻率的信號能展現出明顯差異：

    例如，100Hz的信號和100.1Hz的信號疊加，一兩個周期恐怕看不出來，必須要足夠多的周期才能區別開。

 

短時傅里葉變換可以看做移位信號x[n+m]通過窗w[m]的傅里葉變換。當n改變時，信號x[m]滑動着通過窗w[m]。對每一個n，可以看到信號的一段不同部分。

當然，也可以看做將窗平移，而保持傅里葉分析的時間原點固定不變，由此可以得出稍許不同的另一個短時傅里葉變換定義式。

 

當窗對於所有m均為1，即不加窗時，X[n, λ)=Σx[n+m]e^-jλm=Σx[n+m]e^-jλ(n+m)e^jλn=X(e^jλ)e^jλn。

因為短時傅里葉變換包含信號的平移，所以上式也就可以理解了：平移帶來相位的變化，於是X[n, λ)=X(e^jλ)e^jλn。（點n附近的序列移動到原點附近）

 

另外，若設m'=n+m，短時傅里葉變換還可以寫成下面的形式：

X[n, λ)=Σx[m']w[-(n-m')]e^jλ(n-m')。

若設h_λ[n]=w[-n]e^jλn，那么短時傅里葉變換就是x[n]和h_λ[n]的卷積（固定λ）：

傅里葉變換本身就滿足交換性質和線性性質，短時傅里葉變換恰好又具備類似卷積的滑動過程。 

對不同的λ（頻率），h_λ[n]相當於對w[n]乘以不同頻率的復指數信號（施加不同頻率的復指數權），以便能夠將x[m]的相應頻率成分提取出來。

 

我們固定n時，信號和窗沒有相對滑動，這樣信號和窗的乘積在頻域就相當於兩者頻譜的卷積。在做這樣的卷積時，我們滑動W(e^jω)得到H_λ(e^jω)=W(e^j(λ-ω))，得到一個通帶中心位於ω=λ的帶通濾波器，這個濾波器的通帶寬度（近似？）等於窗的傅里葉變換之主瓣的寬度。

 

在窗或信號的滑動過程中，對某一特定的n₀，x[n₀]可能會參與多個時間點的X[n, λ)計算。例如，若窗長度為5（w[0]~w[4]），那么計算X[0, λ]需要x[0:4]，計算X[1, λ]需要x[1:5]……這樣，x[1]同時參與從X[-3, λ]直到X[1, λ)的計算過程。所以，STDTFT的計算結果在時間維度上是包含有冗余信息的。同樣，連續變量λ也可以離散化。這樣得到抽取后的X[rR, k]=X[rR, 2kπ/N)，R為時間維度上的抽取間隔。當然，R不能大於窗的長度L。若DFT長度為N，那么只要滿足N≥L≥R[注]，就可以重構信號。特殊情況就是N=L=R。

[注]實際上應該是L≥R，N≥R。