BZOJ2440 [中山市選2011]完全平方數

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本文作者：ljh2000
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Description

小 X 自幼就很喜歡數。但奇怪的是，他十分討厭完全平方數。他覺得這些數看起來很令人難受。由此，他也討厭所有是完全平方數的正整數倍的數。然而這絲毫不影響他對其他數的熱愛。
這天是小X的生日，小 W 想送一個數給他作為生日禮物。當然他不能送一個小X討厭的數。他列出了所有小X不討厭的數，然后選取了第 K個數送給了小X。小X很開心地收下了。
然而現在小 W 卻記不起送給小X的是哪個數了。你能幫他一下嗎？

Input

包含多組測試數據。文件第一行有一個整數 T，表示測試數據的組數。
第2 至第T+1 行每行有一個整數Ki，描述一組數據，含義如題目中所描述。 

Output

含T 行，分別對每組數據作出回答。第 i 行輸出相應的第Ki 個不是完全平方數的正整數倍的數。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

對於 100%的數據有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

 

 

正解：二分答案+容斥+莫比烏斯反演

解題報告：

　　最近刷莫比烏斯反演刷上癮了...

　　這類題都成套路了，預處理莫比烏斯函數，就是一個板子，然后掃一遍計算答案。

　　這題要求第k個沒有平方因子的數，直接二分答案，然后判斷區間內的數的數量是否可行。其實這道題問的很裸啊，沒有平方因子不就意味着μ(i)!=0嗎...所以我們二分出了一個n之后，就計算區間的答案，根據容斥原理，滿足要求的ans=n-只有一個質數因子次數大於等於2的個數+只有2個質數因子大於等於2的個數-...，這樣的復雜度是sqrt(n)的。所以非常簡單啦。

 

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf = (1LL<<31)-1;
const int MAXN = 100011;
LL l,r;
int ans;
int mobius[MAXN],k;
int prime[MAXN],cnt;
bool ok[MAXN];

inline int getint()
{
    int w=0,q=0; char c=getchar();
    while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
    while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
}

inline void init(){
    mobius[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) {
    if(!ok[i]) prime[++cnt]=i,mobius[i]=-1;
    for(int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N;j++) {
        ok[i*prime[j]]=1;
        if(i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
        else { mobius[i*prime[j]]=0; break; }
    }
    }
}

inline bool check(LL x){
    LL div=sqrt(x); int tot=0;
    for(int i=1;i<=div;i++) {
    tot+=mobius[i] * (x/(i*i));
    }
    //tot=x-tot;
    if(tot>=k) return true;
    return false;
}

inline void work(){
    init(); int T=getint(); LL mid;
    while(T--) {
    k=getint(); l=1; r=inf; ans=inf;
    while(l<=r) {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    }
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}