C++ 完全數的判斷
對於自然數\(n\)，其除了自身以外的所有因數的和，等於其自身的，稱\(n\)為完全數。在C++中可以通過遍歷\(1\)到\(n\)找出所有因數，然后求和驗證。但\(n\)次遍歷往往無法滿足時間復雜度的要求。
注意到，對自然數\(n\)，假設其存在因數\(a\)，則必存在因數\(b = n / a\)，且\(min(a, b)\)不大於\(\sqrt(n)\)。利用這條性質可以將原本需要的n次遍歷減少為\(\sqrt(n)\)次遍歷。
int n, sum = 1;
cin >> n; // n為輸入的自然數n
for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ){
if (n % i == 0){
sum += (i + n / i);
}
}
一般的代碼中都沒有考慮\(i = n / i\)的情況，即\(n\)為完全平方數的情況。如何證明完全平方數不可能是完全數？
證明：完全平方數不可能是完全數
對大於3的正整數\(n\)，其除了自身的約數的和\(sum(n)\)有：
\[sum(n) < n(n+1)/2 - n = (n^2-n)/2 \]
對於一個完全平方數$ k = n * n \(，如果其為完全數，則\) n \(的約數和\)sum(n) = k - n = n^2 - n$，顯然不可能。所以完全平方數不需要特別處理。
C++ 程序
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin >> n;
while(n--){
int x, sum = 1;
cin >> x;
for (int i = 2; i < sqrt(x); i ++){
if (x % i == 0){
sum += i;
sum += x / i;
}
}
if (x != sum || x == 1)
printf("%d is not perfect\n", x);
else
printf("%d is perfect\n", x);
}
return 0;
}