完全平方數

 

題目：

給定正整數 n，找到若干個完全平方數（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

給你一個整數 n ，返回和為 n 的完全平方數的 最少數量 。

完全平方數 是一個整數，其值等於另一個整數的平方；換句話說，其值等於一個整數自乘的積。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方數，而 3 和 11 不是。

 來源：力扣（LeetCode）

鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares

方法一（常規方法）：動態規划

 

狀態轉移方程：ƒ[i] = 1 +  [√i] min j=1  ƒ[i-j²]

public int numSqu(int n){
    int [] f = new int [n+1];
    for (int i=1; i <=n;i++){
        int minn = Integer.MAX_VALUE;
        for(int j = 1; j * j <= i ; j++){
            minn = Math.min(minn,f[i - j * j]);
        }
        f[i] = minn + 1;
    }
    return f[n];
    }
}

 

方法二：用數學定理來簡化

利用四平方和定理來快速篩選答案

當n≠4^k x (8m+7)時，我們需要判斷到底多少個完全平方數能夠表示 n，我們知道答案只會是 1,2,3中的一個：

答案為 1 時，則必有 n 為完全平方數，這很好判斷；

答案為 2 時，則有 n=a²+b²，我們只需要枚舉所有的a(1≤a≤√n），判斷 n-a²是否為完全平方數即可；

答案為 3 時，我們很難在一個優秀的時間復雜度內解決它，但我們只需要檢查答案為 1或 2 的兩種情況，即可利用排除法確定答案。

作者：LeetCode-Solution
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/wan-quan-ping-fang-shu-by-leetcode-solut-t99c/

public int numSqu(int n){
    if (isPerSqu(n)){
        return 1;
    }
    if (checkAns4(n)){   
        return 4;
    }
    for (int i =1; i * i < n;i++){
        int j = n - i*i ;
        if(isPerSqu(j)){
            return 2;
        }
    }
    return 3;
}

    public boolean isPerSqu(int x) {
        int y = (int) Math.sqrt(x);
        return y*y == x;
    }

    public boolean checkAns4(int x){
        while (x % 4 ==0) {
            x /= 4;
        }
        return x % 8 == 7;
    }