整數規划(蒙特卡洛)

若在線性規划模型中， 變量限制為整數，則稱為整數線性規划。

• 對於整數線性規划模型大致可分為兩類：變量全限制為整數時，稱純（完全）整數規划。
• 變量部分限制為整數的，稱混合整數規划。

原線性規划有優解，當自變量限制為整數后，其整數規划解會出現：

• 原線性規划優解全是整數，則整數規划優解與線性規划優解一致。
• 整數規划無可行解。
• 有可行解（當然就存在優解），但優解值變差。

求解方法分類：

• 分枝定界法—可求純或混合整數線性規划。
• 割平面法—可求純或混合整數線性規划。
• 隱枚舉法—求解“0-1”整數規划：過濾隱枚舉法；分枝隱枚舉法。
• 匈牙利法—解決指派問題（“0-1”規划特殊情形）。
• 蒙特卡洛法—求解各種類型規划。

蒙特卡洛最經典的應用就是求圓周率。

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define MAX_BASE 10000000

float Rand(float L, float R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

float GetPi()
{
    srand(time(NULL));
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_BASE; ++i) {
        float x = Rand(-1, 1);
        float y = Rand(-1, 1);
        if (x * x + y * y <= 1)
            count++;
    }
    return count * 4.0 / MAX_BASE;
}

int main ()
{
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
        std::cout << GetPi() << std::endl;
    return 0;
}

蒙特卡洛積分的應用，如求自然常數。

積分：

 

即求陰影部分的面積。

假設滿足

的點有m個，全部的點有n個，可得到近似公式為：

而用牛頓萊布尼茲公式可得：

兩種方法得到的結果相同，即

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#define MAX_BASE 10000000

struct Point {
    float x;
    float y;
}; 

inline float Rand(float L, float R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

Point GetPoint()
{
    Point t;
    t.x = Rand(1.0, 2.0);
    t.y = Rand(0.0, 1.0);
    return t;
}

float GetResult()
{
    int m = 0;
    int n = MAX_BASE;
    
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        Point t = GetPoint();
        float result = t.x * t.y;
        if (result <= 1.0)
            m++;
    }
    return pow(2.0, 1.0 * n / m);
}

int main ()
{
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
       std::cout << GetResult() << std::endl;
    return 0;
}

參考：ACdreamers的博客。