蒙特卡洛模型

蒙特卡羅法也稱統計模擬法、統計試驗法。是把概率現象作為研究對象的數值模擬方法，下面講兩個例子加深理解。

• 三門問題

  你參加一個有獎競猜節目，現在面前有三個門，只有其中一個門后有獎，其余門后為空。你隨機選中一個門后，主持人打開另外兩個門中的一個門后，為空，接着，你有一個換門的機會，換還是不換？

  不考慮其他因素

  該問題已經有解，如果不換，那么主持人的操作跟你就沒有關系了，所以中獎概率為\(\frac{1}{3}\)；如果換的話，你剛開始選門有三種情況，有一種是最開始選中了獎品，結果換到了其他門，而有兩種可能是最開始選中了沒有獎品的門，最后換到了有獎的門，那么中獎的概率就為 \(\frac{2}{3}\)。假設你現在不知道這個結論，那應該如何求解呢？代碼模擬，也叫蒙特卡洛模擬，關鍵是量大和隨機（區別於枚舉）。

  模擬結果如下（代碼見最后）：

  

• 蒙特卡洛求非線性規划初始值

  非線性規划詳見數學規划模型

  有如下的非線性規划模型：

  \[\begin{align} &min\quad f(x) = x_1^2 + x_1x_2+x_3^2\\[0.3cm] &s.t = \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 \leq 100\\[0.2cm] x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2x_3 \leq 200\\[0.2cm] x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{cases} \end{align} \]

  在對該非線性規划模型使用 Matlab 求解之前，需要設定 \(x_1,x_2,x_3\) 的初始值，初始值的選取對非線性規划求解非常重要，這里可以用蒙特卡洛來選取較好的初始值。

Matlab 代碼

三門問題模擬代碼

import random
import time

def game(result):
  random.seed(time.time())
  prize = random.randrange(1, 4) # 獎品所在門號
  first = random.randrange(1, 4) # 第一次選中的門

  # 主持人打開了一個空門

  # 不換
  if first == prize:
    result[0] += 1 # 堅持得一分
  else:
    pass # 不得獎

  # 換
  if first != prize:
    result[1] += 1 # 換得一分
  else:
    pass # 不得獎



def simulation():
  result, times = [0.0, 0.0], 1000*1000

  for i in range(times):
    game(result)

  print("共計模擬游戲 %d 次\n  換門中獎 %d 次，概率為 %lf\n  不換中獎 %d 次，概率為 %lf" 
  % (times, result[1], result[1]/times, result[0], result[0]/times))
  

if __name__ == "__main__":
    simulation()