1、仿射集和凸集
1.1 仿射集相關概念
仿射（affine）定義：對於集合
，如果通過集合C中任意兩個不同點之間的直線仍在集合C中，則稱集合C為仿射（affine）。
也就是說，C包括了在C中任意兩點的線性組合，即：
這個概念可以推廣到n個點，即
，其中
。也稱為仿射組合。
仿射集（affine set）定義：仿射集包含了集合內點的所有仿射組合。若C是仿射集，
，
，則點
也屬於C.
仿射包（affine hull）的定義：仿射包是包含C的最小的仿射集，表示為：
1.2 凸集的相關概念
凸（convex）的定義：對於集合
，如果通過集合C中任意兩個不同點之間的線段仍在集合C中，則稱集合C為凸（convex）。
注：所有仿射集都是凸的，因為它包含集合中任意不同點的所有直線
凸組合：
的點，其中
和
，則稱點
的凸組合。
凸組合與仿射組合的區別：在凸組合中，參數
必須大於等於0。
凸集（convex set）：該集合包含了所有點的凸組合。
凸包（convex hull）：最小的凸集，表示為：
注：1）凸包總是凸的
2）若B是凸集並且包含C，則
在二維歐幾里得空間中，凸包可想象為一條剛好包着所有點的橡皮圈
1.3、錐
錐（cone）的定義：若對於任意
和
，有
，則稱為錐。如果集合C既是凸也是錐，則稱為凸錐。
錐組合：
的點，其中
，則稱為錐組合。也稱為非負線性組合。
若
在凸錐C中，則
的所有凸組合在C中；相反，集合C為凸錐，當且僅當它包含了所有元素的凸組合。
錐包（cone hull）：集合C中所有錐組合的集合，也是包含C的最小凸錐。即
2、例子
空集、點、整個空間都是仿射（affine），因此也是凸（convex）
任意線是仿射（affine），若過原點，則為凸錐（convex cone）
線段是凸（convex），但不是仿射
形式如
的射線是凸，但不是仿射
任意子空間是仿射和凸錐
超平面是仿射集（affine set）
半平面是凸集（convex set）
球體和橢圓體是凸集
Norm ball 和norm cone是凸錐
多面體（polyhedra）是凸集
參考文獻：convex optimization[Stephen Boyd]