仿射集、凸集和錐的概念


1、仿射集和凸集

1.1 仿射集相關概念

仿射(affine)定義:對於集合 ,如果通過集合C中任意兩個不同點之間的直線仍在集合C中,則稱集合C為仿射(affine)。

也就是說,C包括了在C中任意兩點的線性組合,即:

這個概念可以推廣到n個點,即 ,其中 。也稱為仿射組合

仿射集(affine set)定義:仿射集包含了集合內點的所有仿射組合。若C是仿射集,,則點也屬於C.

仿射包(affine hull)的定義:仿射包是包含C的最小的仿射集,表示為:

 

1.2 凸集的相關概念

凸(convex)的定義:對於集合 ,如果通過集合C中任意兩個不同點之間的線段仍在集合C中,則稱集合C為凸(convex)。

注:所有仿射集都是凸的,因為它包含集合中任意不同點的所有直線

凸組合的點,其中 ,則稱點 的凸組合。

凸組合與仿射組合的區別:在凸組合中,參數 必須大於等於0。

凸集(convex set):該集合包含了所有點的凸組合。

凸包(convex hull):最小的凸集,表示為:

注:1)凸包總是凸的

2)若B是凸集並且包含C,則

在二維歐幾里得空間中,凸包可想象為一條剛好包着所有點的橡皮圈

 

1.3、錐

錐(cone)的定義:若對於任意 ,有 ,則稱為錐。如果集合C既是凸也是錐,則稱為凸錐。

錐組合的點,其中,則稱為錐組合。也稱為非負線性組合。

在凸錐C中,則的所有凸組合在C中;相反,集合C為凸錐,當且僅當它包含了所有元素的凸組合。

 

錐包(cone hull):集合C中所有錐組合的集合,也是包含C的最小凸錐。即

 

2、例子

空集、點、整個空間都是仿射(affine),因此也是凸(convex)

任意線是仿射(affine),若過原點,則為凸錐(convex cone)

線段是凸(convex),但不是仿射

形式如 的射線是凸,但不是仿射

任意子空間是仿射和凸錐

 

超平面是仿射集(affine set)

半平面是凸集(convex set)

球體和橢圓體是凸集

Norm ball 和norm cone是凸錐

多面體(polyhedra)是凸集

 

 

 

參考文獻:convex optimization[Stephen Boyd]


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