1. 概述
\(\quad\)那么開始第二期，介紹凸錐和常見的集合，這期比較短(因為公式打得太累了)，介紹凸集和凸錐與仿射集的意義在哪呢，為的就是將很多非凸集合轉化為凸集的手段，其中，又以凸包（包裹集合所有點的最小凸集）為最常用的手段，在細節一點，閉凸包（閉合的凸包）是更常用的手段。
2. 凸錐（convex cone）：
2.1 定義
（1）錐（cone）定義：對於集合\(C\subseteq{R^n},\forall x \in C,\theta \ge0,有\theta x \subseteq C\)則x構成的集合稱為錐。說明一下，錐不一定是連續的（可以是數條過原點的射線的集合）。
（2）凸錐（convex cone）定義：凸錐包含了集合內點的所有凸錐組合。若\(C\subseteq{R^n}\),\(x_1,x_2...x_n\in C,\theta_i\ge0\)，則\(\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}\)也屬於凸錐集合C。這里說明一下，就是說一個集合既是凸集又是錐，那么就是凸錐（廢話）。
（3）凸錐包（convex cone hull）定義：凸錐包是包含C的最小的凸錐，假設\(x_1,x_2...x_n\in C\)，凸錐包表示為：$${\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}|x_1,x_2...x_n\in C，\theta_i\ge0}$$
3. 常用凸集
3.1 常用集合
| 集合 | 是否屬於凸集、仿射集、凸錐 |
|---|---|
| 點 | 凸集、仿射集，不一定是凸錐（在原點上是凸錐） |
| 空集 | 凸集、仿射集、凸錐 |
| \(R^n\)n維空間 | 凸集、仿射集、凸錐 |
| \(R^n\)的子空間 | 凸集、仿射集、凸錐 |
| \(\forall\)任意直線 | 凸集、仿射集、不一定是凸錐（過原點上是凸錐） |
| \(\{x_0+\theta v\|\theta\ge0\},x\in R^n,\theta\in R,v\in R^n\)的子空間 | 凸集、仿射集(是點的時候)、凸錐（過原點時） |
以上是比較簡單的集合，接下來來看看稍微復雜的常用集合。
（1）超平面：\(\{x|a^{T}x=b,x\in R^n,b\in R,a\in R^n\}\)，其中a和x為n維向量，b為常數。解釋一下就是，想想初中學的直線為\(kx-y=-b\),高中學的平面為\(Ax+By+Cz=-D\)。拓展到n維空間就是超平面啦。超平面是凸集、仿射集，只有在過原點的時候是個凸錐。
（2）球：\(B（x_c,r）=\{x||x-x_c||_2\le r\}\),即點到圓心的距離的二范數小於半徑的點構成的集合。那么解釋一下二范數的求法：\(||A||_2=\sqrt{A^T A}\)。球是凸集、當是個點的時候是仿射集、凸錐。
（3）橢球：\(B（x_c,P）=\{x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\le 1,P\in S^{n}_{++}\}\),其中P為正定對稱矩陣，正定就是其特征值全大於0.相關概念不再贅述。同理，橢球是凸集，當是個點的時候是仿射集、凸錐。
（4）多面體（polyhedron）：\(P=\{a_j^Tx\le b_j,c_i^Tx= d_j\}\)，多面體由半空間與超平面的交集組成。依舊是凸集。
（5）單純形（simplex）：特殊多面體，\(R^n空間中選擇v_0...v_k共k+1個點，滿足v_1-v_0,...v_k-v_0線性無關\)則構成單純形為\(C=conv\{v_0...v_k\}=\{\theta_0v_0+...+\theta_kv_k,\theta\ge0,1^T\theta=1\}\)。看起來比較繞，其實想想就明白了，就是找兩兩組合起來構成的線不平行的點，然后找這些點的凸包集合。當然有一種情況需要說明，就是在\(R^n\)空間中，由於無法找到n+1個向量線性無關，所以點也是有個數限制的。即不超過n+2個。舉個例子，就是二維空間中，不存在四邊形的單純形，三維空間沒有五面體的單純形。
（6）這里開始介紹三個不太能想像出具體形式的集合，對稱矩陣集合\(S^n=\{x\in R^n_n|x=x^T\}\)，是凸錐。
（7）對稱半正定矩陣集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x半正定\}\)來簡單證明一下它是凸錐，半正定矩陣有個特點，假設半正定矩陣A，則有\(\forall x\in R^n，x^TAx\ge 0\),那么證明開始，有兩個矩陣A、B集合在C中，滿足\(x^TAx\ge 0,x^TBx\ge 0\)則$$x^T\theta_1Ax+x^T\theta_2Bx=x^T(\theta_1A+\theta_2B)x\ge0\tag{1}$$顯然成立，得到\(\theta_1A+\theta_2B\)仍在集合C中，得證。
（8）對稱正定矩陣集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x正定\}\)，（其實表示正定有個數學符號，表示其特征值大於0,和大於號很像，但是markdown我不會打那個符號），不是凸錐！，具體看（7）的證明，這里（1）式依舊成立，但是無法滿足大於0,因為當兩個\(\theta\)參數為0時就會有等於0的情況。反例也可以找到，當n=1時，此矩陣集合則變為了\(S^1_{++}=R_{++}\)顯然不包含原點，則不是凸錐。
那么這次寫到這里，下次介紹啥呢（其實我想跳一跳的）。