排列與組合的一些定理

一，加法原理與乘法原理

加法原理與乘法原理是排列與組合的基礎。加法原理本質上是分類，乘法原理本質上是分步。

分類，就是把一個集合(某事物)分成互不相交的若干獨立的部分。比如，概率論中的全概率公式就將事件分成”全划分“

分類思想可以簡化程序的時間復雜度。比如：最短路徑算法-Dijkstra算法的應用之單詞轉換(詞梯問題)

分步，就是第一步干嘛，第二步再干嘛……比如A地到D地，第一步：先到達B地；第二步，再到達C地

 

二，排列

P(n,r)表示從n個數中選擇r個數的一個全排列

公式：P(n,r)=P(n-1,r)+p(n-1,r-1)*r

上面公式用到了分類思想：對於某個元素而言，要么選，要么不選。如果不選它，則在剩下的n-1個元素中選r個進行全排列；如果選了它，則在剩下的n-1個元素中只需要選r-1個元素進行全排列了。但是選了的那個元素，一共有r種位置存放（因為這是排列，同一個元素放在不同的位置 屬於不同的排列）故p(n-1,r-1)*r。

排列一共有三種：①線排列，就是通常的普通排列。

公式：P(n,r)=n!/(n-r)!

②圓排列，相當於排序的數圍成一個圓。比如循環隊列的那種實現方式。舉個圓排列的例子如下：

a b c d四個字母的線排列共有4!=24種。對於其中的一種排列： a b c d ，它對應着四種等價圓排列：

1) a b c d   2) b c d a   3)c d a b   4)d a b c

因此，對於給定n個數的所有圓排列，一共有 p(n,r)/r種。 因為，一個圓排列可以產生r個線排列。

③重排列

對於線排列而言，某個元素選了之后，就不能再選了（一個元素只能選一次）

對於重排列而言，一個元素可以選多次。

集合{∞·b₁，∞·b₂，....，∞·b_n}的一個r排列個數為：n^r

即從b₁，b₂...b_n，共n個元素中選出r個，每個元素可選任意多次，一共有種n^r排列

還有一種重排列是：每個元素最多只能選K次(某個固定的次數)

{K₁·b₁，K₂·b₂，....，Kn·b_n}（ 元素b₁最多只能選K₁次）的一個r排列個數為：(K₁+K₂+....+K_n)!/(K₁!K₂!...K_n!)

上面表示從b₁，b₂...b_n，共n個元素中選出r個進行排列，但是 b_j最多只能選K_j次，一共有(K₁+K₂+....+K_n)!/(K₁!K₂!...K_n!)次排列方式。

 

三，組合

C(n,r)表示從n個數中選擇r個數的一個全組合。

公式：C(n, r)=[n!/(r!)(n-r)!]=P(n,r)/r!

公式：C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)  這個公式用到了分類思想。對於n個元素的某個元素，要么選，要么不選。

如果選了，只需在 剩下的n-1 個元素中選 r-1個；如果不選，則在剩下的n-1個元素中選r個（因為一共要選r個啊）。

這個公式非常有用，這是楊輝三解公式：其中基准條件C(n,0)=1，C(i,i)=1

C(0,0)

C(1,0)   C(1,1)

C(2,0)   C(2,1)   C(2,2)

C(3,0)   C(3,1)   C(3,2)   C(3,3)

.....        .....        .....

如果要求解C(n,r)，可以先求解出C(n-1,r) 和 C(n-1,r-1)；再運用公式相加即可。很明顯，這是一個與Fib數列類似的遞歸計算。只不過求Fib(n)時，只有一個參數，而這里有二個參數而已。當然，上面的程序效率是非常低的，因為它重復計算了很多子問題。代碼實現如下：

public class YanHuiTriangle {
    //compute C(n,r)
    public static long c(int n, int r){
        if(n == 0 || r == 0)
            return 1;//base condition
        if(n == r)
            return 1;//base condition
        else
            return c(n-1, r-1) + c(n-1, r);
    }

    //compute c(n,r)
    public static long c_dp(int n ,int r){
        long[][] dp = new long[n+1][r+1];
        
        //init
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = 1;//if(n==0)
        for(int i = 0; i <= r; i++)
            dp[0][i] = 1;//if(r==0)
        for(int i = 0; i <= r; i++)//Assume r < n
            dp[i][i] = 1;//if(n==r)
        
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= r; j++)
            {
                if(j < i)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1];
                else if(j > i)//從 i 個元素中選取出 j個元素(j>i 沒有意義)
                    dp[i][j] = 0;
            }
        }
        return dp[n][r];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        
        long start_dp = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(c_dp(50, 10));
        long end_dp = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("dp use time: " + (end_dp - start_dp) + "ms");
        
        long start = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(c(50,10));
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("non dp use time: " + (end - start) + "ms");
    }
}

 

 

這個示例完美地證明了DP（動態規划）實現和遞歸實現的差距。是學習DP的一個好示例。如何將一個程序從遞歸改成DP？看上面的示例就會有啟示了。

其次，這也是0-1背包問題分解的思路，對於某件物品，要么拿走，要么不拿走。因此，這個組合公式在DP問題的分析中經常用到。

 

重組合公式：從集合{∞·b₁，∞·b₂，....，∞·b_n}中選取r個元素，（不考慮次序），一共有多少種組合？

答案是：F(n,r) = C(n+r-1, r)

 

四，二項式定理

（X+Y）ⁿ = C(n,0)X⁰ Yⁿ + C(n,1)X¹ Y^n-1 +.....+ C(n,n)Xⁿ Y⁰

“二項式”定理嘛，就是有兩個項相加求n次冪。。。。。