更新：5 JUN 2016
【向量值函數】\(Y=\textbf{f}(X): \Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\)
可以看作m個分量函數
\(y_1=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
\(y_2=f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
……
\(y_m=f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
【Jacobi矩陣】
\(J\textbf{f}(X)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots& & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} &\dfrac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \) 記作 \(J\textbf{f}(X)=\dfrac{\partial(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\)
每行中自變量的下標遞增；每列中分量函數的下標遞增。是一個m行n列\(m\times n\)的矩陣。
Jacobi矩陣中每一行看作一個n維向量的話，是該行分量函數的梯度函數。
Jacobi矩陣是向量值函數\(f\)在\(X\)點的導數：\(\Delta Y=\textbf{f}(X_0+\Delta X)-\textbf{f}(X_0)=A\Delta X+\textbf{o}(\Delta X),\qquad A=J\textbf{f}(X_0)\)
【Jacobi行列式】
若向量值函數\(m=n\)，則其Jacobi矩陣的行列式為Jacobi行列式，記作\(\dfrac{D(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{D(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\)
如果連續可微函數f在P點的Jacobi行列式不是零，那么它在該點附近具有反函數。