爬樓梯與斐波那契數列

今天做leetcode時，做到了爬樓梯問題：

https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/

問題不再贅述。

　　剛開始看到題的時候，就想着分析n級樓梯，直接得出答案。但是，在分析的過程中發現，若是對於一個常數n，且n不太大的情況下，利用排列組合的方法，也許可以得出結果，但是工作量大得無法想象，遂放棄排列組合。

　　於是，老辦法，n=1，n=2，n=3...發現竟然有點像斐波那契數列，於是，按照斐波那契數列的方法去做，果然ok！

　　雖然得到了結果，但是偏執癌又犯了，為什么可以用斐波那契數列解決呢？思索之后，未得出滿意的結果，遂查找資料：

　　斐波那契數列，兔子生產與斐波那契數列，爬樓梯與斐波那契數列。。。

　　（期間推敲了兔子生產的問題）

 

　　在這個博客里 http://blog.csdn.net/ljsspace/article/details/6455293 給出了讓人滿意的分析：

　　首先考慮第一步的走法：第一步可以走1級台階，也可以走2級台階。那么，設S(n)表示走n級台階的走法數量，如果第一步走1級台階，剩下的台階數為n-1，也就是說這種情況下的走法是相當於S(n-1)；同理，如果第一步走2級台階，剩下的台階數為n-2，這樣的走法相當於S(n-2)；於是，得出遞推公式：

S(n) = S(n-1) + S(n-2);

　　接下來就很簡單了：

S(1)=1，S(2)=2;

　　這下感覺圓滿了！！

　　

　　不過，還是應當反思一下，為什么自己沒有想到這樣去分析呢？其實最初開始分析的時候，也是朝着這個方向去的，但是，思考一陣之后，沒有得出滿意答案，於是就放棄了。其實，這是一直都存在的毛病，確切說，應該是見得少的緣故，導致沒有足夠的經驗，權衡之后，選擇放棄，因為有可能是白白浪費時間和精力。事實證明，放棄的決定大多數是錯誤的：首先，對問題的“第一印象”是很重要的，往往就是從“第一印象”着手去分析，因為對於一個陌生的問題，也只能這樣做；其次，隨着分析的深入，從“第一印象”擴展開來，都會大致朝着正確的方向的，並逐漸接近問題的本質，那句話怎么說來着？透過現象看本質，現象是事物本質的外部表現，等等（理論學得不好），大概就是說通過現象去認識本質（詞窮了）；再次，在除去將要被“放棄”的方向之外，沒有其他可以努力的方向時，就更不應該放棄了。

 

　　還有一個問題：

　　在實現過程中，使用兩種方法：

　　由於水平有限，“第一印象”只能想到這兩種。

　　方法一：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            int n1 = 1, n2 = 2;
            int nf;
            for(int i = 2;i < n;++i){
                nf = n1 + n2;
                n1 = n2;
                n2 = nf;
            }
            return nf;
        }
    }
};

方法二：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            vector<int> buff;
            buff.push_back(1);
            buff.push_back(2);
            for(int i = 2;i < n;++i){
                int temp = buff[i - 1] + buff[i - 2];
                buff.push_back(temp);
            }
            return buff[n-1];
        }

    }
};

　　兩種方法提交之后，方法二的Runtimes比方法一的要少，這說明使用法二性能比法一要好，就涉及到vector相關性能分析了，稍后再補上。

　　如果有哪位能夠給出一些指導，將不勝感激！