棋盤覆蓋問題（C++實現）

在一個2k×2k 個方格組成的棋盤中，恰有一個方格與其它方格不同，稱該方格為一特殊方格，且稱該棋盤為一特殊棋盤。

問題: 用4種不同形態的L型骨牌, 覆蓋給定特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何2個不得重疊。

 

特殊方格在棋盤上出現的位置有4k種情形。因而對任何k>=0，有4k種不同的特殊棋盤。

易知，在任何一個2k * 2k的棋盤中，用到的L型骨牌個數恰為(4k -1)/3。

 

1. 當k>0時，將2k×2k棋盤分割為4個2k-1×2k-1 子棋盤, Figure (a)所示。
2. 特殊方格必位於4個較小子棋盤之一中，其余3個子棋盤中無特殊方格。
3. 為將無特殊方格子棋盤轉化為特殊棋盤，可以用一個骨牌覆蓋3個較小棋盤的會合處，如 Figure(b)所示，從而將原問題轉化為4個較小規模的棋盤覆蓋問題。
4. 遞歸地使用這種分割，直至棋盤簡化為棋盤1×1。

 

#include<iostream>
using namespace std;
int tile=1;                   //L型骨牌的編號(遞增)
int Board[100][100];  //棋盤
/*****************************************************
* 遞歸方式實現棋盤覆蓋算法
* 輸入參數：
* tr--當前棋盤左上角的行號
* tc--當前棋盤左上角的列號
* dr--當前特殊方格所在的行號
* dc--當前特殊方格所在的列號
* size：當前棋盤的:2^k
*****************************************************/
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
    if(size==1) return;
    int t=tile++,s=size/2;
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)///在左上角區域內
    ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    else///不在左上角區域內
    {
        Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;///用t號(用一個數字表示)L型骨牌覆蓋右下角
        ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);///覆蓋剩余方格
    }
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)///在右上角區域內
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    else///不在右上角的區域內
    {
        Board[tr+s-1][tc+s]=t;
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s-1]=t;
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s]=t;
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }
}
int main()
{
    int size;
     cout<<"輸入棋盤的size(大小必須是2的n次冪): ";
     cin>>size;
     int index_x,index_y;
     cout<<"輸入特殊方格位置的坐標: ";
     cin>>index_x>>index_y;
     ChessBoard ( 0,0,index_x-1,index_y-1,size );
     for ( int i=0; i<size; i++ )
     {
         for ( int j=0; j<size; j++ )
             cout<<Board[i][j]<<'\t';
         cout<<endl;
     }
}

推導過程:  原式等價於  T(k)=4T(k-1)+1

           遞推得: 4T(k-1)=4(4T(k-2)+1)=42T(k-2)+4    

                        T(k)= 42T(k-2)+4 +1

             又有: 42T(k-2)=43T(k-3)+42 

                  故 T(k)= 43T(k-3)+42+4+1

                        ………………….

                       T(k)=4kT(0)+4k-1+…+4+1=O(4k)