棋盤覆蓋問題

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題目在線：

 

棋盤覆蓋問題

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Problem 10432 : No special judgement

Problem description

  在一個2k x 2k ( 即：2^k x 2^k )個方格組成的棋盤中，恰有一個方格與其他方格不同，稱該方格為一特殊方格，且稱該棋盤為一特殊棋盤。在棋盤覆蓋問題中，要用圖示的4種不同形態的L型骨牌覆蓋給定的特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何2個L型骨牌不得重疊覆蓋。

Input

  輸入文件第一行是一個整數T,表示有多少組測試數據，接下來是T組測試數據，共2T行，每組第一行為整數n,是2的n次冪（1<=n<=64），表示棋盤的大小為n*n,第二行是兩個整數，代表特殊方格所在行號和列號。

Output

  先輸出“CASE:i，然后按樣例輸出。數據間用制表符隔開(‘t’),每行最后一個數據后無制表符。

Sample Input

2
2
0 0
8
2 2

Sample Output

CASE:1
0       1
1       1
CASE:2
3       3       4       4       8       8       9       9
3       2       2       4       8       7       7       9
5       2       0       6       10      10      7       11
5       5       6       6       1       10      11      11
13      13      14      1       1       18      19      19
13      12      14      14      18      18      17      19
15      12      12      16      20      17      17      21
15      15      16      16      20      20      21      21

Judge Tips

  要求遍歷順序按從左到右，從上到下。

Problem Source

  qshj

 

思路：

雖然這個問題已經在網上被討論遍了，但是最近從新拾起算法，感覺有必要夯實一下基礎。

棋盤覆蓋問題：
首先大致描述一下題目：
在一個2^k×2^k個方格組成的棋盤中,若有一個方格與其他方格不同,則稱該方格為一特殊方格,且稱該棋盤為一個特殊棋盤.顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有4^k種情形.因而對任何
k≥0,有4^k種不同的特殊棋盤.
下圖–圖(1)中的特殊棋盤是當k=2時16個特殊棋盤中的一個：

 

圖(1)

題目要求在棋盤覆蓋問題中,要用下圖—圖(2)所示的4種不同形態的L型骨牌覆蓋一個給定的特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格,且任何2個L型骨牌不得重疊覆蓋.

 

圖(2)

 

思路分析：
當k>0時,將2^k×2^k棋盤分割為4個2^k－1×2^k－1子棋盤,如下圖–圖(3)所示：

 

 

 

圖(3)

特殊方格必位於4個較小子棋盤之一中,其余3個子棋盤中無特殊方格.為了將這3個無特殊方格的子棋盤轉化為特殊棋盤,可以用一個L型骨牌覆蓋這3個較小棋盤的會合處。
如下圖–圖(4)所示,這3個子棋盤上被L型骨牌覆蓋的方格就成為該棋盤上的特殊方格,從而原問題轉化為4個較小規模的棋盤覆蓋問題.遞歸地使用這種分割,直至棋盤簡化為1×1棋盤。

別人的代:1：

#include<iostream>
using namespace std;
int tile=1;                   //L型骨牌的編號(遞增)
int board[100][100];  //棋盤
/*****************************************************
* 遞歸方式實現棋盤覆蓋算法
* 輸入參數：
* tr--當前棋盤左上角的行號
* tc--當前棋盤左上角的列號
* dr--當前特殊方格所在的行號
* dc--當前特殊方格所在的列號
* size：當前棋盤的:2^k
*****************************************************/
void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )
{
    if ( size==1 )    //棋盤方格大小為1,說明遞歸到最里層
        return;
    int t=tile++;     //每次遞增1
    int s=size/2;    //棋盤中間的行、列號(相等的)
    //檢查特殊方塊是否在左上角子棋盤中
    if ( dr<tr+s && dc<tc+s )              //在
        chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );
    else         //不在，將該子棋盤右下角的方塊視為特殊方塊
    {
        board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
        chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );
    }
    //檢查特殊方塊是否在右上角子棋盤中
    if ( dr<tr+s && dc>=tc+s )               //在
        chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );
    else          //不在，將該子棋盤左下角的方塊視為特殊方塊
    {
        board[tr+s-1][tc+s]=t;
        chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );
    }
    //檢查特殊方塊是否在左下角子棋盤中
    if ( dr>=tr+s && dc<tc+s )              //在
        chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );
    else            //不在，將該子棋盤右上角的方塊視為特殊方塊
    {
        board[tr+s][tc+s-1]=t;
        chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );
    }
    //檢查特殊方塊是否在右下角子棋盤中
    if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s )                //在
        chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );
    else         //不在，將該子棋盤左上角的方塊視為特殊方塊
    {
        board[tr+s][tc+s]=t;
        chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );
    }
}

void main()
{
    int size;
    cout<<"輸入棋盤的size(大小必須是2的n次冪): ";
    cin>>size;
    int index_x,index_y;
    cout<<"輸入特殊方格位置的坐標: ";
    cin>>index_x>>index_y;
    chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size );
    for ( int i=0; i<size; i++ )
    {
        for ( int j=0; j<size; j++ )
            cout<<board[i][j]<<"/t";
        cout<<endl;
    }
}

 

 

別人代碼2：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 11;
int Board[N][N];
int tile = 0;
 
/*
tr:棋盤左上角方格的行號
tc:棋盤左上角方格的列號
dr:特殊方格所在的行號
dc:特殊方格所在的列號
size:方形棋盤的邊長
*/
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    if(size == 1)
        return;
    int t = ++tile, s = size/2;
 
    //覆蓋左上角子棋盤
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)
        //特殊方格在此棋盤中
        ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    else   // 此棋盤無特殊方格
    {
        // 用t號L型骨型牌覆蓋右下角
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        // 覆蓋其余方格
        ChessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);
    }
 
    //覆蓋右上角子棋盤
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s-1][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);
    }
 
    //覆蓋左下角子棋盤
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
        ChessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s-1] = t;
        ChessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);
    }
 
    //覆蓋右下角子棋盤
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);
    }
}
 
void DisplayBoard(int size)
{
    for(int i=1; i<=size; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=size; ++j)
            printf("%2d ", Board[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
 
int main()
{
    ChessBoard(1, 1, 1, 2, 4);
    DisplayBoard(4);
    return 0;
}