IPOPT工具解決非線性規划最優化問題使用案例
簡單介紹
ipopt是一個解決非線性規划最優化問題的工具集，當然，它也能夠用於解決線性規划問題的求解。它提供了c/c++接口，很易於使用。
問題
解決類似以下的非線性問題：
Ipopt工具採用內點法求解非線性優化問題。
求解前的准備
須要計算
1. 梯度
計算目標函數的梯度，和約束條件Jacobian矩陣
2. Hessian矩陣
delta and lambda are parameters for object function and constraints functions (lambda is multiplier of Lagrangian)
演示樣例
求解以下的最優化問題：
第一步：
求解目標函數的梯度：
第二步：
求解約束條件的Jacobian矩陣：
第三步：
求解目標函數和約束條件的Hessian矩陣。即求解
得到
至此，准備工作已經就緒，接下來調用Ipopt 的API接口進行計算。
1.get_nlp_info設置以下的參數
a) n=4;//變量x個數
b) m=2;//約束條件個數
c) nnz_jac_g=8;//Jacobian非零個數
d) Nnz_h_lag=10;//Hessian非零個數
2.get_bounds_info 設置以下的參數
a) x_l[i]設置xi的下界值
b) x_u[i]設置xi的上界值
c) g_l[i]設置約束i的下界值
d) g_u[i]設置約束i的上界值
3.get_start_point設置以下參數
a) x[i]設置第i個變量的初始迭代值
4.eval_f設置以下參數
a) object_value設置目標函數計算方式（本例：object_value=x0*x3*(x0+x1+x2) + x2）
5.eval_grad_f設置目標函數的梯度
a) grad_f[i]設置目標函數對第i個變量的偏導。本比例如以下：
6.eval_g設置約束條件
a) G[i]約束條件i,本比例如以下：
7.eval_jac_g設置Jacobian矩陣
a) iRow和jCol設置非零行列的坐標
b) Values設置矩陣迭代值，假設values==NULL。即尚未初始化時。須要設置Jacobian矩陣哪些下標位置非零。例如以下圖：
Value==NULL（左）；value != NULL（右）
8.eval_h設置Hessian矩陣
a) iRow和jCol設置非零行列的坐標
b) obj_factor為目標函數系數
c) lambda[i]為第i個約束的拉格朗日乘子
d) values設置矩陣的迭代求值，本例僅僅有目標函數和兩個約束條件，因此如所看到的。
i. 目標函數
ii. 約束1
iii. 約束2
9.finalize_solution求解
a) status為返回的求解狀態
b) obj_value:最優值
c) x:最優解變量取值
d) z_l 拉格朗日乘子下界
e) z_u 拉格朗日乘子上屆
f) lambda 最優解拉格朗日乘子取值
C++ API
Svn地址：https://projects.coin-or.org/svn/Ipopt/stable/3.11
演示樣例程序位於源碼：Ipopt/test路徑下。
自己定義類繼承於TNLP (public TNLP)，使用命名空間：Ipopt (using namespace Ipopt)
程序實現下面虛函數就可以。
/**@name Overloaded from TNLP */
//@{
/** Method to return some info about the nlp */
virtual bool get_nlp_info(Index& n, Index& m, Index& nnz_jac_g,
Index& nnz_h_lag, IndexStyleEnum& index_style);
/** Method to return the bounds for my problem */
virtual bool get_bounds_info(Index n, Number* x_l, Number* x_u,
Index m, Number* g_l, Number* g_u);
/** Method to return the starting point for the algorithm */
virtual bool get_starting_point(Index n, bool init_x, Number* x,
bool init_z, Number* z_L, Number* z_U,
Index m, bool init_lambda,
Number* lambda);
/** Method to return the objective value */
virtual bool eval_f(Index n, const Number* x, bool new_x, Number& obj_value);
/** Method to return the gradient of the objective */
virtual bool eval_grad_f(Index n, const Number* x, bool new_x, Number* grad_f);
/** Method to return the constraint residuals */
virtual bool eval_g(Index n, const Number* x, bool new_x, Index m, Number* g);
/** Method to return:
* 1) The structure of the jacobian (if "values" is NULL)
* 2) The values of the jacobian (if "values" is not NULL)
*/
virtual bool eval_jac_g(Index n, const Number* x, bool new_x,
Index m, Index nele_jac, Index* iRow, Index *jCol,
Number* values);
/** Method to return:
* 1) The structure of the hessian of the lagrangian (if "values" is NULL)
* 2) The values of the hessian of the lagrangian (if "values" is not NULL)
*/
virtual bool eval_h(Index n, const Number* x, bool new_x,
Number obj_factor, Index m, const Number* lambda,
bool new_lambda, Index nele_hess, Index* iRow,
Index* jCol, Number* values);
//@}
/** @name Solution Methods */
//@{
/** This method is called when the algorithm is complete so the TNLP can store/write the solution */
virtual void finalize_solution(SolverReturn status,
Index n, const Number* x, const Number* z_L, const Number* z_U,
Index m, const Number* g, const Number* lambda,
Number obj_value,
const IpoptData* ip_data,
IpoptCalculatedQuantities* ip_cq);
//@}