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齊次坐標
我們都知道，在3D圖形學中，所有的變換都可以划分為三種最基礎的變換方式，分別為：
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旋轉變換
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縮放變換
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平移變換
通過對這三種變換進行組合，就能夠實現任意的變換形式。
在3D坐標下，如果向量使用3D向量表示的話，對於這三種變換的處理方式如下：
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旋轉變換：乘法運算
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縮放變換：乘法運算
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平移變換：加法運算
也就是說，這三種變換的處理方式是不同的，旋轉和縮放變換能夠通過乘法實現，而平移需要通過加法來實現。
所以圖形學的大師們，覺得這樣的計算方法十分的繁瑣，他們希望能夠使用一種統一的方式來對坐標進行變換。所以他們決定，將平移變換也使用乘法來統一這種計算方法。
所以，就提出了齊次坐標的概念。
齊次坐標，即使用N+1維的空間向量來表示N維的向量。通過這樣的方法就能夠使用乘法對平移變換也進行計算。
而平移變換對向量是沒有用處的，只有對點才有用。所以就出現了齊次坐標（x,y,z,w），其中當w等於1的時候，表示的是點向量，0的時候，表示的就是普通向量。
仿射變換
在明白了齊次坐標之后，我們來看看什么是仿射變換。
從學習3D以來，就經常聽到說3D圖形學里面的變換都是仿射變換。以前也查過這個概念，但是過不了多久就忘記了。主要就是因為沒有深刻的理解到這個概念的意義，所以就很容易遺忘掉它。直到今天遇到了問題，才深刻的理解仿射變換時什么樣的變換。
仿射變換的定義如下：先進行線性變換，在進行平移變換的變換稱之為仿射變換。注意這個定義里面，具有先后關系，我就是忽略了這個先后關系才對很多變換，搞的迷迷糊糊的。
在3D中，所謂的線性變換，指的就是旋轉變換和縮放變換這兩種。也就是說，我們在3D游戲開發中，使用的矩陣變換，實際上是一種仿射變換，它會先對向量進行旋轉和縮放（這兩種變換的先后順序，無關緊要），然后在對向量進行平移操作。
這就是仿射變換的定義。一定要牢記，仿射變換時具有先后關系的兩種變換的聯合。
正交矩陣
在學校學習線性代數的時候，那時候還是很清楚什么是正交矩陣。但是拋去了課本，就忘記了什么是正交矩陣。依稀只記得好像是任意兩個行向量相乘的結果為0，也就是相互垂直的關系。今天也一直以這個定義來推導正交矩陣求逆運算的簡化步驟，發現總是得不出正確的結果。所以，就重新學習了下什么是正交矩陣。
正交矩陣的定義：
a.矩陣中的任意兩個行向量的乘積為0b.矩陣中每一個行向量都是單位向量
沒有經過縮放的旋轉矩陣就是一個正交矩陣。
3D圖形中求逆的幾何意義
數學上對矩陣的求逆運算，在學習線性代數的時候，一直就不知道為毛搞這么一個東東。（這也體現了中國填鴨式教育，先交給你是這么做，至於為什么這么做，以后才知道）直到自己學習游戲開發，特別是進行3D變換的時候，才明白了。
在3D中，變換都是通過矩陣來實現的。比如一個矩陣的功能是先讓某個向量旋轉A角度，在平移B距離。那么這個矩陣的逆矩陣的效果就應該是先讓向量平移-B距離，然后在旋轉-A角度。也就是說，矩陣和它的逆矩陣對向量進行的變換效果是相反的過程。
矩陣乘法
在學習3D游戲編程的過程中，經常會遇到一個問題，在解決某種變換的時候，網上給出這個變換的矩陣總是有兩種不同的格式，他們互為轉置。我以前一直不明白怎么回事。直到自己在學習OpenGL(先學DirectX)之后，才明白原來是兩個標准3D API對於向量的定義方式不同導致的。
當我們講解某個變換的時候，作者大多使用自己熟悉的方式來進行講解。熟悉DirectX的人，會使用行向量的方式對矩陣進行描述，熟悉OpenGL的人，會使用列向量的方式對矩陣進行描述。所以就會導致出現兩個相互為轉置的矩陣出現。
比如說，在DX中，一個向量實際上是這樣的：[x,y,z,w]
它在進行矩陣乘法的時候，是這樣的：[x,y,z,w] * M (右乘矩陣的方式)
而對於OpenGL來說，它的向量表示是這樣的：
[x,
y,
z,
w]
它在進行矩陣乘法的時候，是這樣的：
M * transpose[x,y,z,w] (左乘矩陣的方式)
所以，這就導致了理解上的偏差。初學者最好弄明白這些基礎的概念。
正交矩陣求逆
前面講了一大堆，就是為了得出怎么樣快速的求出一個正交矩陣的逆矩陣出來。
這里統一使用OpenGL的矩陣表示方法。
假如有一個矩陣：
[m00 m01 m02 m03]
[m10 m11 m12 m13]
[m20 m21 m22 m23]
[0 0 0 1]
在3D中這個矩陣有兩個不同的部分構成，
一個是：
[m00 m01 m02]
[m10 m11 m12]
[m20 m21 m22]
的旋轉矩陣R（由於是正交矩陣，這里就只能是未進行縮放的單位向量的正交旋轉矩陣）
另外一個就是：
[1 0 0 m03]
[0 1 0 m13]
[0 0 1 m23]
[0 0 0 1]
的平移矩陣
這兩個部分構成。
也就是可以簡化為如下的矩陣表示:
[R T] * V
[0 0 0 1]
前面說過，要想求一個矩陣的逆矩陣，就是構造一個具有相反效果的矩陣即可，那么上面的矩陣是一個仿射矩陣，它是先進行R旋轉，然后在進行T平移操作，所以它的逆操作就應該是：
先平移-T，然后在旋轉-R
所以得出下面的矩陣：
[Transpose_R] * [Transpose_T]
[0 0 0 1] [0 0 0 1]
由於R是正交矩陣，正交矩陣有一個特性：
正交矩陣的逆矩陣等於轉置矩陣
所以就能夠很直觀的得出正交矩陣構成的仿射矩陣的逆矩陣了。