ACM數論之旅12---康托展開（(*ﾟ▽ﾟ*)裝甲展開，主推進器啟動，倒計時3,2,1......）

 

在我們做題中，搜索也好，動態規划也好，我們往往有時候需要用一個數字表示一種狀態

 

比如有8個燈泡排成一排，如果你用0和1表示燈泡的發光情況

那么一排燈泡就可以轉換為一個二進制數字了

 

比如

01100110 = 102

11110000 = 240

10101010 = 170

 

通過這些十進制數，只要把他們展開，我們就知道燈泡的狀態了

 

如果這題是一個動態規划題

然后我們就拿這些數字做一些轉移了，

比如dp[102],dp[240],dp[170]等等

這對題目很有幫助

 

 

 

 

 

 

 

 

上面講的那些就是所謂的狀態壓縮了，須知詳細的狀態壓縮可以去百度

或者有機會我自己去寫一篇博客（這是flag（/TДT)/）

 

 

 

 

 

 

 

 

那對於有些題，我們即使狀態壓縮后，數字太大，數組都開不下，麻煩的題目（/TДT)/

這些題目也要看情況，比如我接下來要講的康托展開

 

 

 

 

 

 

 

康托展開經典題：hdu 1430

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430

 

在魔方風靡全球之后不久，Rubik先生發明了它的簡化版——魔板。魔板由8個同樣大小的方塊組成，每個方塊顏色均不相同，可用數字1-8分別表示。任一時刻魔板的狀態可用方塊的顏色序列表示：從魔板的左上角開始，按順時針方向依次寫下各方塊的顏色代號，所得到的數字序列即可表示此時魔板的狀態。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示魔板狀態為：

1 2 3 4
8 7 6 5

對於魔板，可施加三種不同的操作，具體操作方法如下：

A: 上下兩行互換,如上圖可變換為狀態87654321
B: 每行同時循環右移一格,如上圖可變換為41236785
C: 中間4個方塊順時針旋轉一格,如上圖可變換為17245368

給你魔板的初始狀態與目標狀態，請給出由初態到目態變換數最少的變換步驟，若有多種變換方案則取字典序最小的那種。

 

Input

每組測試數據包括兩行，分別代表魔板的初態與目態。

 

Output

對每組測試數據輸出滿足題意的變換步驟。

 

Sample Input

12345678

17245368

12345678

82754631

 

Sample Output

C

AC

 

 

 

 

 

 

 

我們看這題，總共有8個數字，1~8，假如我們把他們看成0~7

那么每個數字可以轉換為一個3位二進制

0:000

1:001

2:010

3:011

4:100

5:101

6:110

7:111

 

然后12345678這個狀態我們可以表示為二進制000001010011100101110111，總共3*8=24位，

2^24 = 16777216，數組根本開不下啊

 

這時，我們發現了，有一些狀態，根本沒有用到，因為這題已經規定了有8個數字，每個數字只出現一次

比如000000000000000000000000這個狀態，你說可能出現嗎？(o ° ω ° O )

 

 

這個時候，康托就對這種題目做了研究(o ° ω ° O )

 

這種每個數字只出現一次的問題的所以情況，總共才n!個情況（這個問題叫做全排列）

 

康托的一套算法可以正好產生n!個數字

比如：

123  ->  0

132  ->  1

213  ->  2

231  ->  3

312  ->  4

321  ->  5

 

 

 

 

這是如何做到的(/≥▽≤/)

在峰神的博客里面有很好的解釋（對不起了峰神≖‿≖✧，拿過來抄一下）

 

 

 

 

 

 

(/≥▽≤/)好神奇

 

 

 

於是乎，康托展開模板：

void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展開，把一個數字num展開成一個數組s，k是數組長度
    int t;
    bool h[k];//0到k-1，表示是否出現過 
    memset(h, 0, sizeof(h)); 
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        t = num / fac[k-i-1];
        num = num % fac[k-i-1];
        for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
            if(h[pos]) j --;
            if(j == t){
                h[pos] = true;
                s[i] = pos + 1;
                break;
            }
        }
    }
}
void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展開，把一個數組s換算成一個數字num 
    int cnt;
    num = 0;
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        cnt = 0;
        for(int j = i + 1; j < k; j ++){
            if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判斷幾個數小於它
        }
        num += fac[k-i-1] * cnt;
    }
}

 

 

 

 

 

 

 

付上AC代碼：

（這代碼我在杭電上用c++交竟然CE了，g++就沒問題，CE的內容是我的那個模板，說什么不能bool h[k]這樣聲明類型，c++小心眼，這有什么關系嘛(´・ω・)ﾉ，我還只是個孩子）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std; 
typedef long long LL;
const int N = 8;
queue <LL> que;
string ans[50000];
char str1[10], str2[10];
bool vis[50000];

int map[10];//映射
int num[10];
 
LL fac[N];//階乘
void change(int s[], int o){//o分別是0,1,2，表示ABC三種變化
    switch(o){
        case 0:
            for(int i = 0; i < 4; i ++) swap(s[i], s[8-i-1]);
            break;
        case 1:
            for(int i = 3; i >= 1; i --) swap(s[i], s[i-1]);
            for(int i = 4; i < 7; i ++) swap(s[i], s[i+1]);
            break;
        case 2:
            swap(s[1], s[6]);
            swap(s[6], s[5]);
            swap(s[5], s[2]);    
            break;
    } 
} 
void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展開，把一個數字num展開成一個數組s，k是數組長度
    int t;
    bool h[k];//0到k-1，表示是否出現過 
    memset(h, 0, sizeof(h)); 
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        t = num / fac[k-i-1];
        num = num % fac[k-i-1];
        for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
            if(h[pos]) j --;
            if(j == t){
                h[pos] = true;
                s[i] = pos + 1;
                break;
            }
        }
    }
}
void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展開，把一個數組s換算成一個數字num 
    int cnt;
    num = 0;
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        cnt = 0;
        for(int j = i + 1; j < k; j ++){
            if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判斷幾個數小於它
        }
        num += fac[k-i-1] * cnt;
    }
}
void init(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i;
    int a[8], b[8];
    LL temp, temp2;
    que.push(0);
    vis[0] = true;
    while(!que.empty()){
        LL temp = que.front(); que.pop();
        cantor(a, temp, 8);
        for(int i = 0; i < 3; i ++){
            copy(a, a+8, b);
            change(b, i);
            inv_cantor(b, temp2, 8);
            if(!vis[temp2]){
                que.push(temp2);
                vis[temp2] = true;
                ans[temp2] = ans[temp] + (char)('A' + i);
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
    while(~scanf("%s", str1)){
        scanf("%s", str2);
        //先把所有初始狀態都轉換成12345678
        //最終狀態根據初始狀態的轉換而轉換 
        //這樣只要一次預處理就可以解決問題了 
        for(int i = 0; i < 8; i ++) map[str1[i] - '0'] = i + 1;
        for(int i = 0; i < 8; i ++) num[i] = map[str2[i] - '0'];
        LL temp;
        inv_cantor(num, temp, 8);
        cout << ans[temp] << endl;
    }
}

 

 

 

 

 

 

 

 

宇宙我來啦~\(≧▽≦)/~