直線生成算法

所謂圖元的生成，是指完成圖元的參數表示形式（由圖形軟件包的使用者指定）到點陣表示形式（光柵顯示系統刷新時所需的表示形式）的轉換。通常也稱掃描轉換圖元。

直線的掃描轉換：確定最佳逼近於該直線的一組像素，並且按掃描線順序對這些像素進行寫操作。

三個常用算法：1、數值微分法DDA；2、中點畫線法；3、Bresenham算法。

生成目標，求與直線段充分接近的像素集

生成前提條件:1、像素網格均勻，坐標為整數值；2、直線段的寬度為1；3、直線段的斜率k的取值范圍為[-1,1]。

1、數值微分法

1.1 基本思想

已知過端點P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直線段L: y=kx+b 直線斜率為

，x從左端點x₀開始，向右端點x₁以步長=1(個象素)，計算相應的y坐標y=kx+b；取象素點(x, y(x))作為當前點的坐標。

計算y_i+1 = kx_i+1+b                                   

                   = k₁x_i+b+kDx

                   = y_i+kDx                            當Dx =1; y_i+1 = y_i+k 。

1.2 分析

• 當x每遞增1，y遞增k(即直線斜率)；
• 注意上述分析的算法僅適用於|k| ≤1的情形。在這種情況下，x每增加1,y最多增加1。
• 當 |k| >1時，必須把x，y位置互換
• 按照直線從（x0，y0）到（x1，y1）的方向不同，分為8個象限。對於方向在第1a象限內的直線而言， Dx=1， Dy=k。對於方向在第1b象限內的直線而言，取值Dy=1， Dx=1/k。

對應關系如下圖所示：

2、中點畫線法

2.1 基本思想

當前像素點為p(x_p, y_p) ，下一個象素點為P1或P2。設M=(x_p+1, y_p+0.5)，為p₁與p₂的中點，Q為理想直線與x=x_p+1垂線的交點。將Q與M的y坐標進行比較。

如下圖所示：

當M在Q的下方，則P₂應為下一個象素點；

當M在Q的上方，應取P₁為下一點。

2.2 分析

構造判別式:d=F(M)=F(x_p+1,y_p+0.5) = a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c

           其中a=y₀-y₁, b=x₁-x₀, c=x₀y₁-x₁y₀

當d<0，M在L（Q點）下方，取右上上方P_U為下一個像素；

當d>0，M在L(Q點)上方，取右方P_D為下一個像素；

當d=0，選P₁或P₂均可，約定取P_D為下一個像素；

d是x_p, y_p的線性函數，因此可采用增量計算，提高運算效率。初值d₀=F(x₀+1, y₀+0.5)=a+0.5b。

(1) 若當前象素處於d>=0情況，則取正右方像素P_D（x_p+1, y_p）, 要判下一個像素位置，應計算：d_i+1=F(x_p+2, y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)=d+a； 增量為a。

(2) 若d<0時，則取右上方像素P_U（x_p+1, y_p+1）。要判斷再下一像素，則要計算：d_i+1= F(x_p+2, y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b ；增量為a＋b。

畫線從(x₀, y₀)開始，d的初值

                    d₀=F(x₀+1, y₀+0.5)=F(x₀, y₀)+a+0.5b =a+0.5b。

可以用2d代替d來擺脫小數，提高效率。

 2.3 實例演示

用中點畫線法畫出P0(0,0) ,P1(5,2)的直線。

首先構造出判別式：d = a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c 。其中a = y0 - y1 = -2，b = x1 - x0 = 5，c = x0y1 - x1y0 = 0。

則初值d0 = a + 0.5b = 0.5。取點P'(1,0)為下一個像素的位置。按照規則(1)、(2)計算，可以得到下列結果表：

i	xi	yi	d
1	0	0	0.5
2	1	0	-1.5
3	2	1	1.5
4	3	1	-0.5
5	4	2	2.5

用坐標表示，下圖：

3、Bresenham算法

3.1 基本思想

過各行各列象素中心構造一組虛擬網格線。按直線從起點到終點的順序計算直線與各垂直網格線的交點，然后根據誤差項的符號確定該列象素中與此交點最近的象素。

3.2 分析

設直線方程為：    ，其中k=dy/dx。 因為直線的起始點在象素中心，所以誤差項d的初值d0＝0。

x下標每增加1，d的值相應遞增直線的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它減去1，這樣保證d在0、1之間。

當d≥0.5時，最接近於當前象素的右上方象素（xi＋1，yi＋1）

當d<0.5時，更接近於右方象素（xi＋1，yi）。

為方便計算，令e＝d-0.5，e的初值為-0.5，增量為k。

當e≥0時，取當前象素（xi，yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）；

當e<0時，更接近於右方象素（xi＋1，yi）。

3.3 實例演示

用Bresenham算法畫出P0(0,0) ,P1(5,2)的直線。

計算得出斜率k = dy/dx = 0.4。

結果如下表：

i	x	y	e
1	0	0	-0.5
2	1	0	-0.1
3	2	1	0.3
4	3	1	-0.3
5	4	2	0.1
6	5	2	-0.5

坐標表示：

上述Bresenham算法在計算直線斜率與誤差項時用到小數與除法。可以改用整數以避免除法。由於算法中只用到誤差項的符號，因此可作如下替換

         這樣e’的初值是-dx，由於k=dy/dx，所以e’的增量就變為2*dy。

3.4 Bresenham算法的優點

• 不必計算直線斜率，因此不做除法；
• 不用浮點數，只用整數；
• 只做整數加減法和乘2運算，而乘2運算可以用硬件移位實現。
• Bresenham算法速度很快，並適於用硬件實現。