最近在研究圖計算的性能，需要構造不同的測試數據對圖算法進行壓測，其中就涉及到均勻圖的概念。
因為做的是理論測試，因此就需要一種理論上絕對均勻的圖測試數據，接下來我們就討論一下絕對均勻圖的生成。
一、何為絕對均勻圖？
為了方便討論，我們只討論無向圖，而且圖中的邊是無權值的，且兩點之間只能存在一條邊，即邊僅代表結點之間的關聯。
從圖論角度出發，我們都知道圖都是由結點以及結點之間的關聯邊組成的。直觀上理解，絕對均勻的圖應該是圖中的所有結點的度都完全相同，這樣每個結點都是同構的，也就是說從任何一個結點進行觀察，得到的都是同樣的結果。
形式化的描述應該是這樣，對於圖 \(G=(V, E)\) ，其中\(V\)是結點集合，\(E\)是邊集合，記 \(|V|\) 為結點數， \(|E|\) 為邊數，圖的平均度為 \(D\) ，由於每條邊為圖貢獻兩個度，於是存在以下關系：
\( D = \frac{2\cdot|E|}{|V|}（公式1） \)
因此，根據前面對均勻概念的理解，對於絕對均勻圖，任何一個節點的度數都滿足：
\( d_v = D = \frac{2\cdot|E|}{|V|}（公式2） \)
二、簡單討論一下
明確了絕對均勻圖的概念后，接下來就是如何生成的問題。由於
\( |E| = \frac{d_v\cdot|V|}{2}（公式3） \)
我們只需要控制結點數 \(|V|\) 和每個結點的度數 \(d_v\) 這兩個變量即可。因此我們的目標就是生成任意結點數，且結點度數任意的絕對均勻圖。
我們知道，完全圖其實就是一種絕對均勻圖，其所有節點的度數為 \(|V| - 1\) ，這已經是圖中結點可以達到的最高度數了。相應的，空圖（只有點，沒有邊）也是絕對均勻圖，即所有節點的度數都為 \(0\)，為最低度數。因此絕對均勻圖的結點度數總是滿足：
\( 0\le d_v\lt|V|（公式4） \)
通過觀察上面的公式2，我們還可以得出如下結論：
- 當結點數為奇數時，\(|V| = 2k - 1, k＝1,2...\) ， 由於 \(|E|\) 是整數，因此 \(d_v\) 必為偶數。
- 當結點數為偶數時，\(|V| = 2k, k＝1,2...\) ， \(d_v\) 沒有限制，因為總有 \(|E| ＝ d_v\cdot k\) 。
一言以蔽之，對於奇數點數的絕對均勻圖，結點度數只能取 \([0, |V|)\) 之內的偶數。故而在圖生成算法上需要對奇數點數圖區分對待。
三、試一下遞歸？
那么如何構建絕對均勻圖呢？首先比較容易想到的就是遞歸思想，遞歸的基本思路是：
- 構建問題最簡單的規模實例，即遞歸的初值，或稱為終止條件。
- 在最簡單規模的實例基礎上，通過增加問題規模，推測問題規模增大時，問題變化的規律。
- 繼而推導在問題規模為\(n\)的時，構造問題規模為\(n+1\)的遞歸條件。這也就意味着，問題規模增大時得到的結果，總是蘊含，甚至包含上一級規模問題的結果。
上面討論過，對於絕對均勻圖，有兩個變量影響圖的規模：結點數 \(|V|\) 和結點度數 \(d_v\) 。因此分析時，要假定其中有一個不變量才比較好思考。
1. 結點度數不變，增大結點數
由於奇數結點數的圖的結點度數不可能為奇數，因此我們保持結點度數為偶數不變，保證結點數從奇數到偶數再到奇數時，可以連續地推導問題變化規律。
這里取\(d_v = 2（0度不具備參考性，可作為邊界條件考慮）\)，令 \(|V| = 3, 4, 5, 6\)，可以得到如下圖實例。
貌似按照環形圖的思考方式，問題是可以遞歸的。每增加一個結點時，只需要選取一條邊斷開，然后連接到新的結點即可。
再考慮一下\(d_v = 4\)的情況，令 \(|V| = 5, 6\)，可以得到如下圖實例。
這種情況下，好像使用上述的遞歸擴展方式就不太容易了。那另外一種情況呢？
2. 結點數不變，增大結點度數
這里取 \(|V| = 6\)，令 \(d_v = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\)，可以得到如下圖實例。
可以看到，當度從\(3\)增長到\(4\)時，新規模問題的解並不包含上一級問題所有的解，而且每一級變化的規律並不穩定。
因此用上面的遞歸思想去分析絕對均勻圖生成的問題可能並不方便，我們需要轉換一下思路。
四、核心思想
回到第一節對絕對均勻圖的概念描述：絕對均勻圖的結點是同構的，滿足各向同性。這就意味着我們可以從一個結點出發，去設法尋找它的關聯節點，並且這種方式對任何一個結點都是相同的。
那么如何找到關聯結點呢？考慮到絕對均勻圖每個點都是同構的，因此絕對均勻圖一定是中心對稱的！假設這個虛擬的對稱中心為\(O\)，在\(d_v = 1\)的情況下，關聯結點一定是當前結點的中心對稱結點。
那在\(d_v = 2\)的情況下呢？
或許會有人好奇，這個\(d_v = 2\)的圖怎么不是環呢？其實對於同樣結點數和度數的絕對均勻圖，圖的結構可能不止一種。
按照中心對稱思想依此類推，可以得到其他度的絕對均勻圖。
因此，關聯結點的尋找思路如下：
- 當\(d_v＝2k（k=0, 1, 2...）\) 時，關聯結點為當前結點的中心對稱結點兩側的各\(k\)個結點。
- 當\(d_v = 2k + 1（k=0, 1, 2...）\) 時，關聯結點為當前結點的中心對稱結點加上中心對稱結點兩側的各\(k\)個結點。
我們發現，前面討論的不可行的遞歸方式主要是被環形圖的思路干擾了。利用中心對稱的關聯結點尋找方式是也是可以遞歸的，不過使用循環實現可能更方便。
五、算法實現與測試
基於中心對稱思想的絕對均勻圖生成算法實現如下：
public boolean generate(int count, int degree) {
// 基本參數校驗
if (!(count > 0 && degree >= 0 && degree < count)) {
System.err.println("Invalid arguments !");
return false;
}
// 檢查奇數點圖的度是否是偶數
if (count % 2 == 1 && degree % 2 != 0) {
System.err.println("Degree should be odd when vertices' count is even !");
return false;
}
// 生成點
System.out.println("Generating vertices:");
for (int index = 0; index < count; index++) {
System.out.println(index);
}
// 生成邊
System.out.println("Generating edges:");
for (int index = 0; index < count; index++) {
// 對面的點
int opposite = (index + count / 2) % count;
// 點偶數，度奇數，鏈接中心對稱結點
if (count % 2 == 0 && degree % 2 == 1) {
System.out.println(index + " -> " + opposite);
}
// 鏈接中心對稱結點兩側的點
for (int i = (count + 1) % 2; i <= (degree - count % 2) / 2; i++) {
final int previous = (opposite - i + count) % count;
final int next = (opposite + i + count % 2) % count;
System.out.println(index + " -> " + previous);
System.out.println(index + " -> " + next);
}
}
return true;
}
為了更直觀的展示生成的絕對均勻圖，可以借助vis.js庫進行繪制。
具體實現方式可以訪問github源碼drawG，該項目實現了一個簡單的圖生成與繪制框架，可以方便定制和擴展圖生成器和處理器。
最后，看一下使用該框架生成的絕對均勻圖：
