迭代最近點算法 Iterative Closest Points

研究生課程系列文章參見索引《在信科的那些課》

基本原理

假定已給兩個數據集P、Q， ，給出兩個點集的空間變換f使他們能進行空間匹配。這里的問題是，f為一未知函數，而且兩點集中的點數不一定相同。解決這個問題使用的最多的方法是迭代最近點法（Iterative Closest Points Algorithm）。

基本思想是：根據某種幾何特性對數據進行匹配，並設這些匹配點為假想的對應點，然后根據這種對應關系求解運動參數。再利用這些運動參數對數據進行變換。並利用同一幾何特征，確定新的對應關系，重復上述過程。

 

迭代最近點法目標函數

三維空間中兩個3D點，  ，他們的歐式距離表示為：

三維點雲匹配問題的目的是找到P和Q變化的矩陣R和T，對於  ， ，利用最小二乘法求解最優解使：

最小時的R和T。

 

數據預處理

實驗中采集了五個面的點如下所示：

由於第一組（第一排第1個）和第三組（第一排第三個）采集均為模型正面點雲，所以選用一和三做后續的實驗。

首先利用Geomagic Studio中刪除點的工具，去除原始數據中的一些隔離的噪點，效果如下：

 

平行移動和旋轉的分離

先對平移向量T進行初始的估算，具體方法是分別得到點集P和Q的中心：

 

 
分別將點集P和Q平移至中心點處：

則上述最優化目標函數可以轉化為：

 
最優化問題分解為：

1. 求使E最小的 
2. 求使 

平移中心點的 具體代碼為：

//計算點雲P的中心點mean
void CalculateMeanPoint3D(vector<Point3D> &P, Point3D &mean)
{
    vector<Point3D>::iterator it;
    mean.x = 0;
    mean.y = 0;
    mean.z = 0;
    for(it=P.begin(); it!=P.end(); it++){
        mean.x += it->x;
        mean.y += it->y;
        mean.z += it->z;
    }
    mean.x = mean.x/P.size();
    mean.y = mean.y/P.size();
    mean.z = mean.z/P.size();
}

初始平移效果如下：

 

利用控制點求初始旋轉矩陣

在確定對應關系時，所使用的幾何特征是空間中位置最近的點。這里，我們甚至不需要兩個點集中的所有點。可以指用從某一點集中選取一部分點，一般稱這些點為 控制點（Control Points）。這時，配准問題轉化為：

這里，pi，qi為最近匹配點。
在Geomagic Studio中利用三個點就可以進行兩個模型的“手動注冊”（感覺這里翻譯的不好，Registration，應該為“手動匹配”）。

 

我們將手動選擇的三個點導出，作為實驗初始的控制點：

對於第i對點，計算點對的矩陣 Ai：

 

 ， 為 的轉置矩陣。

（*這里在査老師的課上給了一個錯誤的矩陣變換公式）

對於每一對矩陣Ai，計算矩陣B: 

double B[16];
        for(int i=0;i<16;i++)
            B[i]=0;
        for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){
            double divpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
            double addpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
            double q[3]={itq->x,itq->y,itq->z};
            MatrixDiv(divpq,q,3,1);
            MatrixAdd(addpq,q,3,1);
            double A[16];
            for(int i=0;i<16;i++)
                A[i]=0;
            for(int i=0;i<3;i++){
                A[i+1]=divpq[i];
                A[i*4+4]=divpq[i];
                A[i+13]=addpq[i];
            }
            double AT[16],AMul[16];
            MatrixTran(A,AT,4,4);
            MatrixMul(A,AT,AMul,4,4,4,4);
            MatrixAdd(B,AMul,4,4);
        }

原最優化問題可以轉為求B的最小特征值和特征向量，具體代碼：

//使用奇異值分解計算B的特征值和特征向量
        double eigen, qr[4];
        MatrixEigen(B, &eigen, qr, 4);

//計算n階正定陣m的特征值分解：eigen為特征值，q為特征向量
void MatrixEigen(double *m, double *eigen, double *q, int n)
{
    double *vec, *eig;
    vec = new double[n*n];
    eig = new double[n];
    CvMat _m = cvMat(n, n, CV_64F, m);
    CvMat _vec = cvMat(n, n, CV_64F, vec);
    CvMat _eig = cvMat(n, 1, CV_64F, eig);
    //使用OpenCV開源庫中的矩陣操作求解矩陣特征值和特征向量
    cvEigenVV(&_m, &_vec, &_eig);
    *eigen = eig[0];
    for(int i=0; i<n; i++)
        q[i] = vec[i];
    delete[] vec;
    delete[] eig;
}

//計算旋轉矩陣
void CalculateRotation(double *q, double *R)
{
    R[0] = q[0]*q[0] + q[1]*q[1] - q[2]*q[2] - q[3]*q[3];
    R[1] = 2.0 * (q[1]*q[2] - q[0]*q[3]);
    R[2] = 2.0 * (q[1]*q[3] + q[0]*q[2]);
    R[3] = 2.0 * (q[1]*q[2] + q[0]*q[3]);
    R[4] = q[0]*q[0] - q[1]*q[1] + q[2]*q[2] - q[3]*q[3];
    R[5] = 2.0 * (q[2]*q[3] - q[0]*q[1]);
    R[6] = 2.0 * (q[1]*q[3] - q[0]*q[2]);
    R[7] = 2.0 * (q[2]*q[3] + q[0]*q[1]);
    R[8] = q[0]*q[0] - q[1]*q[1] - q[2]*q[2] + q[3]*q[3];
}

平移矩陣計算

2.4中可以得到選擇矩陣的4元數表示，由於在"平行移動和旋轉的分離"中，我們將最優問題分解為：

1. 求使E最小的 
2. 求使 

因此還需要通過中心點計算平移矩陣。

//通過特征向量計算旋轉矩陣R1和平移矩陣T1
        CalculateRotation(qr, R1);
        double mean_Q[3]={_mean_Q.x,_mean_Q.y,_mean_Q.z};
        double mean_P[3]={_mean_P.x,_mean_P.y,_mean_P.z};
        double meanT[3]={0,0,0};
        int nt=0;
        for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){
            double tmpP[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
            double tmpQ[3]={itq->x,itq->y,itq->z};
            double tmpMul[3];
            MatrixMul(R1, mean_P, tmpMul, 3, 3, 3, 1);
            MatrixDiv(tmpQ,tmpMul,3,1);
            MatrixAdd(meanT,tmpQ,3,1);
            nt++;
        }
        for(int i=0; i<3; i++)
            T1[i] = meanT[i]/(double)(nt);

一次旋轉計算得到的矩陣如下：

效果在Geomagic Studio中顯示如圖：

 

迭代最近點

在初始匹配之后，所點集P`中所有點做平移變化，在比較點集合P`和Q`的匹配度，（或迭代次數）作為算法終止的條件。
具體為對點集P中每個點，找Q中離他最近的點作為對應點。在某一步利用前一步得到的 ，求使下述函數最小的 ：

 

這里， 

//計算誤差和d
        d = 0.0;
        if(round==1){
            FindClosestPointSet(data,P,Q);
        }
        int pcount=0;
        for(itp = P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end(); itp++, itq++){
            double sum = (itp->x - itq->x)*(itp->x - itq->x) + (itp->y - itq->y)*(itp->y - itq->y)
                + (itp->z - itq->z)*(itp->z - itq->z);
            d += sum;
            pcount++;
        }
        d=d/(double)(pcount);

循環結束后能得到較好的匹配效果：

 

封裝后的效果圖：

 

from: http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/8470376