迭代算法
軍人在進攻時常采用交替掩護進攻的方式，若在數軸上的點表示A，B兩人的位置，規定在前面的數大於后面的數，則是A>B，B>A交替出現。但現在假設軍中有一個膽小鬼，同時大家又都很照顧他，每次沖鋒都是讓他跟在后面，每當前面的人占據一個新的位置，就把位置交給他，然后其他人再往前占領新的位置。也就是A始終在B的前面，A向前邁進，B跟上，A把自己的位置交給B（即執行B = A操作），然后A 再前進占領新的位置，B再跟上……直到占領所有的陣地，前進結束。像這種兩個數一前一后逐步向某個位置逼近的方法稱之為迭代法。
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程,跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。
利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。
二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制。在什么時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於后一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
最經典的迭代算法是歐幾里德算法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：
定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b 。假設d是a,b的一個公約數，則有 d%a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公約數
同理，假設d 是(b, a mod b)的公約數，則 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公約數 。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
歐幾里德算法就是根據這個原理來做的，歐幾里德算法又叫輾轉相除法，它是一個反復迭代執行，直到余數等於0停止的步驟，這實際上是一個循環結構。其算法用C語言描述為：
int Gcd_2(int a, int b)// 歐幾里德算法求a, b的最大公約數
{
if (a<=0 || b<=0) //預防錯誤
return 0;
int temp;
while (b > 0) //b總是表示較小的那個數，若不是則交換a，b的值
{
temp = a % b; //迭代關系式
a = b; //a是那個膽小鬼，始終跟在b的后面
b = temp; //b向前沖鋒占領新的位置
}
return a;
}
從上面的程序我們可以看到a，b是迭代變量，迭代關系是temp = a % b; 根據迭代關系我們可以由舊值推出新值，然后循環執a = b; b = temp;直到迭代過程結束（余數為0）。在這里a好比那個膽小鬼，總是從b手中接過位置，而b則是那個努力向前沖的先鋒。
還有一個很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)數列。斐波那契數列為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=2; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>2時)。
在n>2時，fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由舊值遞推出新值，這是一個典型的迭代關系，所以我們可以考慮迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)數列
{
if (n < 1)//預防錯誤
return 0;
if (n == 1 || n == 2)//特殊值，無需迭代
return 1;
int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代變量
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值來限制迭代的次數
{
fn = f1 + f2; //迭代關系式
f1 = f2; //f1和f2迭代前進，其中f2在f1的前面
f2 = fn;
}
return fn;
}
有一種迭代方法叫牛頓迭代法，是用於求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式 x(n+1) = g(x(n)) = x(n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步驟執行：
(1) 選一個方程的近似根，賦給變量x1;
(2) 將x0的值保存於變量x1，然后計算g(x1)，並將結果存於變量x0;
(3) 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟(2)的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就
認為是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。 x的初值為3.14159/4,用牛頓法求解方程f(x)=0的近似值，要求精確到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法構造方程為：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>
double F1(double x); //要求解的函數
double F2(double x); //要求解的函數的一階導數函數
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0 = 3.14159/4;
double e = 10E-6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函數
{
return cos(x) - x;
}
double F2(double x) //要求解的函數的一階導數函數
{
return -sin(x) - 1;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return x0; //若返回x0和x1的平均值則更佳
}
例2：用牛頓迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精確到10E－6。
算法分析：取x0 = 100; 和 x0 = -100;
f(x)的Newton代法構造方程為： x(n+1) = xn - (xn*xn – 5*xn + 6) / (2*xn - 5)
#include<stdio.h>
double F1(double x); //要求解的函數
double F2(double x); //要求解的函數的一階導數函數
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
double e = 10E-6;
x0 = 100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
x0 = -100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函數
{
return x * x - 5 * x + 6;
}
double F2(double x) //要求解的函數的一階導數函數
{
return 2 * x - 5;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do {
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return (x0 + x1) * 0.5;
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
(1) 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制;
(2) 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導
致迭代失敗。選初值時應使:|df(x)/dx|<1,|df(x)/dx|越小收斂速度越快!
練習：
1．驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2; 若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經過有限次運算后，總可以得到自然數 1 。人們把谷角靜夫的這一發現叫做“谷角猜想”。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算后，最終變成自然數 1 的全過程打印出來。
2．阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內，45分鍾后容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴2^20個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。
3．五只猴子一起摘了一堆桃子,因為太累了,它們商量決定,先睡一覺再分.一會其中的一只猴子來了,它見別的猴子沒來,便將這堆桃子平均分成5份 ,結果多了一個,就將多的這個吃了,並拿走其中的一份.一會兒,第2只猴子來了,他不知道已經有一個同伴來過,還以為自己是第一個到的呢,於是將地上的桃子堆起來,再一次平均分成5份,發現也多了一個,同樣吃了這1個,並拿走其中一份.接着來的第3,第4,第5只猴子都是這樣做的.......,
根據上面的條件,問這5只猴子至少摘了多少個桃子?第5只猴子走后還剩下多少個桃子?
4. 用牛頓迭代法求方程x^2 = 45， 要求精確到10E－6。
提示：取x0 = -6; 和 x0 = 6;
f(x)的Newton代法構造方程為： x(n+1) = xn - (xn*xn - 45) / (2*xn)