十九、最小生成樹（普里姆算法）

普里姆算法介紹

普里姆(Prim)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。

基本思想 
對於圖G而言，V是所有頂點的集合；現在，設置兩個新的集合U和T，其中U用於存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。 從所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合U中，將邊(u, v)加入集合T中，如此不斷重復，直到U=V為止，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了最小生成樹中的所有邊。

普里姆算法圖解

以上圖G4為例，來對普里姆進行演示(從第一個頂點A開始通過普里姆算法生成最小生成樹)。

初始狀態：V是所有頂點的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！ 
第1步：將頂點A加入到U中。 
    此時，U={A}。 
第2步：將頂點B加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，邊(A,B)的權值最小。將頂點B添加到U中；此時，U={A,B}。 
第3步：將頂點F加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，邊(B,F)的權值最小。將頂點F添加到U中；此時，U={A,B,F}。 
第4步：將頂點E加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，邊(F,E)的權值最小。將頂點E添加到U中；此時，U={A,B,F,E}。 
第5步：將頂點D加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，邊(E,D)的權值最小。將頂點D添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D}。 
第6步：將頂點C加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，邊(D,C)的權值最小。將頂點C添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D,C}。 
第7步：將頂點G加入到U中。 
    上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，邊(F,G)的權值最小。將頂點G添加到U中；此時，U=V。

此時，最小生成樹構造完成！它包括的頂點依次是：A B F E D C G。

 

鄰接矩陣：

class Vertex
{ public char label; public boolean wasVisited; public Vertex(char lab)
 { label = lab; wasVisited = false; } } class UDGraph
{ private final int MAX_VERTS = 20; private Vertex vertexList[]; private int adjMat[][]; private int nVerts; public UDGraph()
 { vertexList = new Vertex[MAX_VERTS]; adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS]; nVerts = 0; for(int i=0;i<MAX_VERTS;i++) for(int j=0;j<MAX_VERTS;j++) //最大值表示剛開始頂點間都不連接 adjMat[i][j] = Integer.MAX_VALUE; } public void addVertex(char lab)
 { vertexList[nVerts++] = new Vertex(lab); } public void addEdge(int start,int end,int weight)
 { adjMat[start][end] = weight; adjMat[end][start] = weight;//無向圖  } //最開始以vertexList[v]為最小生成樹的起點 public void Prim(int v)
 { //存放剩余頂點到當前生成樹的最短的一條邊的權值 int lowcost[] = new int[MAX_VERTS]; int k=0; for(int i=0;i<nVerts;i++)
 { //將vertexList數組下標第v個頂點到其它頂點的所有邊當作候選邊 lowcost[i] = adjMat[v][i]; } //將vertexList[v]並入樹中 vertexList[v].wasVisited = true; System.out.println(vertexList[v].label); //選中某個頂點后（這里是v）,每次選取剩下頂點中的一個，一共要有nVerts-1個次 for(int i=0;i<nVerts-1;i++)
 { int min = Integer.MAX_VALUE; //選出剩下頂點到生成數的最小邊 for(int j=0;j<nVerts;j++)
 { if(!vertexList[j].wasVisited && lowcost[j]<min)
 { min = lowcost[j]; k=j; } } vertexList[k].wasVisited = true; System.out.println("----"+lowcost[k]+"----"+vertexList[k].label); //將頂點k並入生成樹，並更新剩下頂點到該生成樹的最小邊 for(int m=0;m<nVerts;m++)
 { //如果剩余頂點到k並入后的生成樹的最小邊小於並入前的生成樹的最小邊 if(!vertexList[m].wasVisited && adjMat[k][m]<lowcost[m]) lowcost[m] = adjMat[k][m]; } } } } public class MatrixUDG_Prim 
{ public static void main(String[] args) 
 { UDGraph theGraph = new UDGraph(); theGraph.addVertex('A');// 0  theGraph.addVertex('B');// 1 theGraph.addVertex('C');// 2 theGraph.addVertex('D');// 3 theGraph.addVertex('E');// 4 theGraph.addVertex('F');// 5  theGraph.addEdge(0, 1,1);//AB theGraph.addEdge(0, 2,4);//AC theGraph.addEdge(0, 5,6);//AF theGraph.addEdge(1, 3,8);//BD theGraph.addEdge(1, 4,3);//BE theGraph.addEdge(2, 4,9);//CE theGraph.addEdge(2, 5,5);//CF theGraph.addEdge(3, 4,7);//DE theGraph.addEdge(3, 5,10);//DF theGraph.addEdge(4, 5,2);//EF//從0開始，即頂點A開始 theGraph.Prim(0); } }

 

鄰接表：

import java.util.ArrayList; class Vertex
{ public char label; public boolean wasVisited; public Edge firstEdge; public Vertex(char lab)
 { this.label = lab; this.wasVisited = false; firstEdge = null; } } class Edge
{ public int dest; public int weight; public Edge nextEdge; public Edge(int dest,int weight)
 { this.dest= dest; this.weight = weight; nextEdge = null; } } class UDGraph
{ private final int MAX_VERTS = 20;//圖的最大頂點數 private int nVerts = 0;//當前頂點數 private Vertex vertexList[];//頂點鏈表 public UDGraph()
 { vertexList = new Vertex[MAX_VERTS]; } public void addVertex(char lab)
 { vertexList[nVerts++] = new Vertex(lab); } public void addEdge(int start,int end,int weight)
 { Edge startEdge = new Edge(start,weight); Edge endEdge = new Edge(end,weight); Edge edge2 = vertexList[start].firstEdge; if(edge2==null)
 { vertexList[start].firstEdge = endEdge; }else
 { while(edge2.nextEdge!=null) edge2 = edge2.nextEdge; edge2.nextEdge = endEdge; } Edge edge3 = vertexList[end].firstEdge; if(edge3==null)
 { vertexList[end].firstEdge = startEdge; }else
 { while(edge3.nextEdge!=null) edge3 = edge3.nextEdge; edge3.nextEdge = startEdge; } } public void displayVertex(int v)
 { System.out.println(vertexList[v].label); } //最開始以vertexList[v]為最小生成樹的起點 public void Prim(int v)
 { //存放剩余頂點到當前生成樹的最短的一條邊的權值 int lowcost[] = new int[MAX_VERTS]; int k=0; //將vertexList數組下標第v個頂點到其它頂點的所有邊當作候選邊 for(int i=0;i<nVerts;i++)
 { lowcost[i] = getWeight(v, i); } //將vertexList[v]並入樹中 vertexList[v].wasVisited = true; System.out.println(vertexList[v].label); //選中某個頂點后（這里是v）,每次選取剩下頂點中的一個，一共要有nVerts-1個次 for(int i=0;i<nVerts-1;i++)
 { int min = Integer.MAX_VALUE; //選出剩下頂點到生成數的最小邊 for(int j=0;j<nVerts;j++)
 { if(!vertexList[j].wasVisited && lowcost[j]<min)
 { min = lowcost[j]; k=j; } } vertexList[k].wasVisited = true; System.out.println("----"+lowcost[k]+"----"+vertexList[k].label); //將頂點k並入生成樹，並更新剩下頂點到該生成樹的最小邊 for(int m=0;m<nVerts;m++){ //如果剩余頂點到k並入后的生成樹的最小邊小於並入前的生成樹的最小邊 if(!vertexList[m].wasVisited && getWeight(k, m)<lowcost[m]) lowcost[m] = getWeight(k, m); } } } /* * 獲取邊<start, end>的權值；若start和end不是連通的，則返回無窮大。 */ private int getWeight(int start, int end) 
 { if (start==end) return 0; Edge currentEdge = vertexList[start].firstEdge; while (currentEdge != null) 
 { if (end==currentEdge.dest) return currentEdge.weight; currentEdge = currentEdge.nextEdge; } return Integer.MAX_VALUE; } } public class ListUDG_Prim 
{ public static void main(String[] args)
 { UDGraph theGraph = new UDGraph(); theGraph.addVertex('A'); // 0  theGraph.addVertex('B'); // 1 theGraph.addVertex('C'); // 2 theGraph.addVertex('D'); // 3 theGraph.addVertex('E'); // 4 theGraph.addVertex('F'); // 5  theGraph.addEdge(0, 1,1); //AB theGraph.addEdge(0, 2,4); //AC theGraph.addEdge(0, 5,6); //AF theGraph.addEdge(1, 3,8); //BD theGraph.addEdge(1, 4,3); //BE theGraph.addEdge(2, 4,9); //CE theGraph.addEdge(2, 5,5); //CF theGraph.addEdge(3, 4,7); //DE theGraph.addEdge(3, 5,10);//DF theGraph.addEdge(4, 5,2); //EF//從0開始，即頂點A開始 theGraph.Prim(0); } }