ACM第四站————最小生成樹（普里姆算法）

對於一個帶權的無向連通圖，其每個生成樹所有邊上的權值之和可能不同，我們把所有邊上權值之和最小的生成樹稱為圖的最小生成樹。

普里姆算法是以其中某一頂點為起點，逐步尋找各個頂點上最小權值的邊來構建最小生成樹。

其中運用到了回溯，貪心的思想。

----------2018年5月24日補：

　　#begin

　　　　根據定義我們可知，求一個圖的最小生成樹的時候，一定會將所有的點都連接起來，也就是說，我們從任何一個點出發都可以得到這個圖的最小生成樹，那么我這里暫定從0出發，尋找到和0相連的點中最小的權值，作為連接0這一個點的邊（如果有相同的最小權值，則視要求處理），將0這一個點設置為不可訪問，同時保存此時的連接點，將求到的這一個點做和0一樣相同的處理...處理出n個點就可以求得這個圖的最小生成樹了（如果不能處理出n個點，那么此圖的最小生成樹也就不存在）。

　　#end

廢話少說，直接上題吧！這些東西多練就好！

 

一、最小生成樹：

題目描述

求一個連通無向圖的最小生成樹的代價（圖邊權值為正整數）。

輸入

第 一行是一個整數N（1<=N<=20），表示有多少個圖需要計算。以下有N個圖，第i圖的第一行是一個整數M（1<=M& lt;=50），表示圖的頂點數，第i圖的第2行至1+M行為一個M*M的二維矩陣，其元素ai,j表示圖的i頂點和j頂點的連接情況，如果 ai,j=0，表示i頂點和j頂點不相連；如果ai,j>0，表示i頂點和j頂點的連接權值。

輸出

每個用例，用一行輸出對應圖的最小生成樹的代價。

樣例輸入

1
6
0 6 1 5 0 0
6 0 5 0 3 0
1 5 0 5 6 4
5 0 5 0 0 2
0 3 6 0 0 6
0 0 4 2 6 0

樣例輸出

15

//Asimple
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建圖
int T, n;

int prim()
{
    int Min, sum = 0;
    int adv[maxn]; //保存定點下標
    int lowc[maxn]; //保存權值

    adv[0] = lowc[0] = 0 ;
    //初始化
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有權值
        adv[i] = 0 ;
    }

    //構建過程
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        Min = INF ;
        int j = 1 ;
        int k = 0 ;

        while( j < n )
        {
            if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<Min)
            {
                Min = lowc[j] ;
                k = j ;
            }
            j ++ ;
        }
        sum += G[adv[k]][k] ;//計算最小權值
        //printf("%d,%d",adv[k],k);//打印節點
        lowc[k] = 0 ;

        //逐行遍歷接下來的k個頂點
        for(int l=1; l<n; l++)
        {
            if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
            {
                lowc[l] = G[k][l] ;
                adv[l] = k ;
            }
        }
    }
    return sum ;
}

int main()
{
    cin >> T ;
    while( T -- )
    {
        cin >> n ;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                cin >> G[i][j];
                if( G[i][j] == 0 && i!=j )
                    G[i][j] = INF ;
            }
        cout << prim() << endl ;
    }

    return 0;
}

 二、判斷最小生成樹是否唯一

題目描述

給出一個連通無向圖，請判斷其最小生成樹是否是唯一的。

定義1（生成樹）：給出一個連通無向圖G=（V，E），G的一顆生成樹被標記為T=（V，E），則具有以下性質：

1）V'=V； 

2）T是連通無回路的。

定義2（最小生成樹）：給出一個邊帶權的連通無向圖G=（V，E），G 的最小生成樹T=（v，E）是具有最小總耗費的生成樹。T的總耗費表示E' 中所有邊的權值的和。

輸入

第 一行給出一個整數t（１＜＝ｔ＜＝２０），表示測試用例數，每個測試用例表示一個圖，測試用例的第一行給出兩個整數ｎ，ｍ（１＜＝ｎ＜＝１００），分別表 示頂點和邊的數目，后面的ｍ行每行是一個三元組（ｘｉ，ｙｉ，ｗｉ），表示ｘｉ和ｙｉ通過權值為ｗｉ的邊相連。任意兩個節點間至多只有一條邊相連。

輸出

對於每個測試用例，如果ＭＳＴ是唯一的，輸出其總耗費；否則輸出字符串'Not Unique!'. 

樣例輸入

2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2

樣例輸出

3

Not Unique!

 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建圖
int T, n, m, x, y, num;

void prim()
{
    int Min, sum = 0;
    int adv[maxn]; //保存定點下標
    int lowc[maxn]; //保存權值
    bool flag = false ;

    adv[0] = lowc[0] = 0 ;
    //初始化
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有權值
        adv[i] = 0 ;
    }

    //構建過程
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        Min = INF ;
        int j = 1 ;
        int k = 0 ;

        while( j < n )
        {
            if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<=Min)
            {
                if( lowc[j] == Min ) flag = true ;
                Min = lowc[j] ;
                k = j ;
            }
            j ++ ;
        }
        sum += G[adv[k]][k] ;//計算最小權值
        lowc[k] = 0 ;

        //逐行遍歷接下來的k個頂點
        for(int l=1; l<n; l++)
        {
            if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
            {
                lowc[l] = G[k][l] ;
                adv[l] = k ;
            }
        }
    }
    if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl ;
    else cout << sum << endl ;
}

int main()
{
    cin >> T ;
    while( T -- )
    {
        cin >> n >> m ;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if( i == j ) G[i][j] = 0 ;
                else G[i][j] = INF ;
            }
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            cin >> x >> y >> num ;
            G[x-1][y-1] = num ;
            G[y-1][x-1] = num ;
        }
        prim();
    }

    return 0;
}

2018年4月1日更正：

上面的代碼過不了  POJ 1679。謝謝指點~~   今天更改了下自己的程序。

18390068

Asimple

1679

Accepted

312K

16MS

C++

1483B

2018-04-01 20:08:48

//Asimple
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
#define INF 0xffffff
typedef long long ll ;
const int maxn = 100+5;
int n, T, num, cnt, x, y, t, m, w;
int Map[maxn][maxn];

void prim() {
    int lowc[maxn];
    for(int i=1; i<=n; i++) lowc[i] = Map[1][i];
    int sum = 0;
    bool flag = false;
    
    for(int l=1; l<n; l++) {
        int Min = INF;
        int k = 0;
        for(int j=2; j<=n; j++) {
            if( lowc[j]!=0 && Min > lowc[j] ) {
                k = j;
                Min = lowc[j];
            }
        }
        if( Min == INF ) break; 
        sum += Min;
        int cnt = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if( Map[k][i] == lowc[k] )
                cnt ++;
        if( cnt > 1 ) {
            flag = true;
            break;
        }
        lowc[k] = 0;
        
        
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            if( lowc[i] > Map[k][i] ) {
                lowc[i] = Map[k][i];
            }
        }
    }
    
    if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl;
    else cout << sum << endl;
}

void input() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin >> T;
    while( T -- ) {
        cin >> n >> m;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=n; j++) {
                Map[i][j] = i==j?0:INF;
            }
        }
        while( m -- ) {
            cin >> x >> y >> w;
            Map[x][y] = min(Map[x][y], w);
            Map[y][x] = Map[x][y];
        }
        prim();
    } 
}

int main() {
    input();
    return 0;
}