圖解最小生成樹 - 普里姆(Prim)算法

我們在圖的定義中說過，帶有權值的圖就是網結構。一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。所謂的最小成本，就是n個頂點，用n-1條邊把一個連通圖連接起來，並且使得權值的和最小。綜合以上兩個概念，我們可以得出：構造連通網的最小代價生成樹，即最小生成樹（Minimum Cost Spanning Tree）。

找連通圖的最小生成樹，經典的有兩種算法，普里姆算法和克魯斯卡爾算法，這里介紹普里姆算法。

為了能夠講明白這個算法，我們先構造網圖的鄰接矩陣，如圖7-6-3的右圖所示。

也就是說，現在我們已經有了一個存儲結構為MGraph的MG（見《鄰接矩陣創建圖》）。MG有9個頂點，它的二維數組如右圖所示，數組中我們使用65535代表無窮。

下面我們對着程序和每一步循環的圖示來看：

算法代碼：（改編自《大話數據結構》）

 

 C++ Code 

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/* Prim算法生成最小生成樹  */ void MiniSpanTree_Prim(MGraph MG) {     int min, i, j, k;     int adjvex[MAXVEX];/* 保存相關頂點下標 */     int lowcost[MAXVEX];/* 保存相關頂點間邊的權值 */     lowcost[0] = 0;/* 初始化第一個權值為0，即v0加入生成樹 */     /* lowcost的值為0，在這里就是此下標的頂點已經加入生成樹 */     adjvex[0] = 0;/* 初始化第一個頂點下標為0 */     cout << "最小生成樹的邊為：" << endl;     for (i = 1; i < MG.numVertexes; i++)     {         lowcost[i] = MG.arc[0][i];/* 將v0頂點與之有邊的權值存入數組 */         adjvex[i] = 0;/* 初始化都為v0的下標 */     }     for (i = 1; i < MG.numVertexes; i++)     {         min = INFINITY; /* 初始化最小權值為∞， */         j = 1;         k = 0;         while (j < MG.numVertexes)/* 循環全部頂點 */         {             if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)/* 如果權值不為0且權值小於min */             {                 min = lowcost[j];/* 則讓當前權值成為最小值 */                 k = j;/* 將當前最小值的下標存入k */             }             j++;         }         cout << "(" << adjvex[k] << ", " << k << ")" << "  "; /* 打印當前頂點邊中權值最小的邊 */         lowcost[k] = 0;/* 將當前頂點的權值設置為0,表示此頂點已經完成任務 */         for (j = 1; j < MG.numVertexes; j++)/* 循環所有頂點 */         {             /* 如果下標為k頂點各邊權值小於此前這些頂點未被加入生成樹權值 */             if (lowcost[j] != 0 && MG.arc[k][j] < lowcost[j])             {                 lowcost[j] = MG.arc[k][j];/* 將較小的權值存入lowcost相應位置 */                 adjvex[j] = k;/* 將下標為k的頂點存入adjvex */             }         }     }     cout << endl; }

1、程序中1~16行是初始化操作，其中第7～8行 adjvex[0] = 0 意思是現在從頂點v0開始（事實上從那一點開始都無所謂，假定從v0開始），lowcost[0]= 0 表示v0已經被納入到最小生成樹中，之后凡是lowcost數組中的值被設為0就表示此下標的頂點被納入最小生成樹。

2、第11～15行表示讀取鄰接矩陣的第一行數據，所以 lowcost數組為{ 0 ,10, 65535, 65535, 65535, 11, 65535, 65535, 65535 }，而adjvex數組為全0。至此初始化完畢。

3、第17~49行共循環了8次，i從1一直累加到8，整個循環過程就是構造最小生成樹的過程。

4、第24～33行，經過循環后min = 10, k = 1。注意26行的if 判斷lowcost[j] != 0 表示已經是生成樹的頂點則不參加最小權值的查找。

5、第35行，因k = 1, adjvex[1] = 0, 所以打印結果為(0, 1)，表示v0 至 v1邊為最小生成樹的第一條邊，如下圖的第一個小圖。

6、第36行，因k = 1 將lowcost[k] = 0 就是說頂點v1納入到最小生成樹中，此時lowcost數組為{ 0,0, 65535, 65535, 65535, 11, 65535, 65535, 65535 }

7、第38～47行，j 循環從1 到8， 因k = 1，查找鄰接矩陣的第v1行的各個權值，與lowcost數組對應值比較，若更小則修改lowcost值，並將k值存入adjvex數組中。所以最終lowcost = { 0,0, 18, 65535, 65535, 11, 16, 65535, 12 }。 adjvex數組的值為 {0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1 }。這里的if判斷也表示v0和v1已經是生成樹的頂點不參與最小權值的比對了。

上面所述為第一次循環，對應下圖i = 1的第一個小圖，由於要用文字描述清楚整個流程比較繁瑣，下面給出i為不同值一次循環下來后的生成樹圖示，所謂一圖值千言，大家對着圖示自己模擬地循環8次就能理解普里姆算法的思想了。

即最小生成樹的邊為：(0, 1), (0, 5), (1, 8), (8, 2), (1, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 3)

最后再來總結一下普里姆算法的定義：

假設N = （V{E} ）是連通網，TE是N上最小生成樹的集合。算法從U = { u0} ( uo V)，TE = { } 開始。重復執行下述操作：在所有

uU，v V - U 的邊（u, v) E 中找一條代價最小的邊(u0 , v0) 並入集合TE, 同時v0 並入U, 直至 U = V 為止。此時TE 中必有n-1 條邊， 則 T = （V，{TE} ) 為N的最小生成樹。

由算法代碼中的循環嵌套可得知此算法的時間復雜度為O(n^2)。

對比普里姆和克魯斯卡爾算法，克魯斯卡爾算法主要針對邊來展開，邊數少時效率比較高，所以對於稀疏圖有較大的優勢；而普里姆算法對於稠密圖，即邊數非常多的情況下更好一些。