圖的最小生成樹（普利姆prim算法）

什么是生成樹呢？

一個連通圖的生成樹是指一個極小連通子圖， 它含有圖中的全部頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。

什么是最小生成樹？

在一個連通圖的所有生成樹中，各邊的代價之和最小的那棵生成樹稱為該連通圖的最小代價生成樹（MST）， 簡稱最小生成樹。

求最小生成樹有兩種算法，本文講prim算法。

簡略證明

使用反證法證明

設一棵最小生成樹T不包含最短邊a，將a加入最小生成樹T中，書中必定構成一個包含a的回路，而回路中必定有邊比a大（因a為最短邊），則刪除比a大的邊得到一棵比原先T更小的樹T1，而T1才是最小生成樹，則與假設矛盾，證明成立。

prim算法

將樹的所有點划分為兩個集合U 和 V

每次選一個最小代價的點從V加入U中，然后更新V中的點到U的最小代價，周而復始直到V為空。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX_VERTEX_NUM 20
#define INFINTY 32768
typedef int AdjType;//權值類型
typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;
typedef char VertexData;
//邊集
typedef struct ArcNode{
    AdjType adj;
    //Other info
}ArcNode;
typedef struct{
    VertexData vertex[MAX_VERTEX_NUM];
    ArcNode arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    int vexnum, arcnum;
    GraphKind kind;
}AdjMatrix;
struct{
    int adjvex;
    int lowcost;
}closedge[MAX_VEX_NUM];

MiniSpanTree_Prim(AdjMatrix gn, int u){
    closedge[u].lowcost = 0;
    for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)       //初始化
    if(i != u){
        closedge[i].adjvex = u;
        closedge[i].lowcost = gn.arcs[u][i].adj;
    }
    for(int e = 1; i < = gn.vexnum-1;e++){
        int v = Minium(closedge); //the minium cost from V to U
        int u = closedge[v].adjvex;
       // printf();
       closedge[v].lowcost = 0; //add v to U
       for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)
       if(gn.arcs[v][i].adjgn.arcs[v][i].adj < closedge[i].lowcost){
        closedge[i].lowcost = gn.arcs[v][i].adj;
        closedge[i].adjvex = v;
       }
    }

}