數據結構圖之二（最小生成樹--普里姆算法）

【1】什么是最小生成樹？

對於連通的帶權圖(連通網)G，其生成樹也是帶權的。

生成樹T各邊的權值總和稱為該樹的權。

權最小的生成樹稱為G的最小生成樹(Minimum SpannirngTree)。簡記為MST。

注意：最小是指權值最小

一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它包含全部的頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。

求最小生成樹有兩種算法：普里姆算法和克魯斯卡爾算法

不好理解？看不懂？能通俗點不？看個實例哈：

假設你是電信實施工程師，需要為一個鎮的九個村庄架設通信網絡做設計。

村庄位置大致如下圖，之間連線的數字表示村與村間的可通達直線距離。

你們領導要求你必須用最小的成本完成這次任務。你說怎么辦？

好，這就是很現實的一個最小生成樹案例。且聽下面詳解。

【2】普里姆算法

利用 普里姆算法 要解決如上問題，首先我們構造圖的鄰接矩陣。如下圖所示：

注意：實際中我們用65535來代表無窮大。

關於普里姆算法以及講解如下圖：

針對上面我們遇到的實際案例，普里姆算法執行循環過程如下圖：

每次所選最小邊分別如 圖1-圖8 所示：

最后用所有邊把各個頂點連通也就是所謂的最小生成樹。

【3】普里姆算法的實現

實現代碼如下：

#include <iostream>
#include "SeqList.h"
#include <iomanip>
using namespace std;

#define  INFINITY  65535

template<class NameType, class DistType>
class Graph
{
private:
    SeqList<NameType> Vertices;
    DistType **Edges;
    int nVer, nEdges;

public:
    Graph() 
        : Edges(NULL)
        , nEdges(0)
        , nVer(0)
    {}
    ~Graph()
    {}

public:

    istream & operator>>(istream &in)
    {
        int v, u, value;
        int i, j;
        NameType item;
        cout << "請輸入頂點的個數: " << endl;
        in >> nVer;
        cout << "請輸入頂點的數據信息: " << endl;
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            in >> item;
            Vertices.push_back(item);    // 保存全部頂點
        }
        /////二維數組的創建並初始化
        Edges = new DistType*[nVer]; // DistType *ar[10];
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            Edges[i] = new DistType[nVer];
            for (j = 0; j < nVer; ++j)
            {
                Edges[i][j] = 0;
            }
        }
        cout << "請輸入邊的個數: " << endl;
        in >> nEdges;
        cout << "請輸入邊的信息：" << endl;
        for (i = 0; i < nEdges; ++i)
        {
            in >> v >> u >> value;
            Edges[v][u] = value;
            Edges[u][v] = value;
        }
        return in;
    }
    ostream & operator<<(ostream &out) const
    {
        int i, j;
        out << "頂點信息 " << endl;
        for (i = 1; i <= nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i] << setw(5);
        }
        out << endl;
        out << "矩陣信息：" << endl;
        out << setw(10);
        for (i = 1; i <= nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i] << setw(5);
        }
        out << endl;
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i+1] << setw(5);
            for (j = 0; j < nVer; ++j)
            {
                if (0 == Edges[i][j] && i != j)
                    Edges[i][j] = INFINITY;
                cout << Edges[i][j] << setw(5);
            }
            out << endl;
        }
        out << endl;

        return out;
    }
    //  圖采用鄰接矩陣存儲  最小生成樹 普里姆算法
    void MiniSpanTree()  
    {  
        int min = 0, i = 0, j = 0, k = 0;
        int* adjvex = new  int[nVer];    // 保存相關頂點下標  
        int* lowcost = new int[nVer];    // 保存相關頂點間邊的權值  
        lowcost[0] = 0;         // 初始化第一個權值為0，即V0已加入生成樹
        //lowcost的值為0，在這里就是此下標的頂點已經加入生成樹    
        adjvex[0] = 0;          // 初始化第一個頂點下標為0  

        for (i = 1; i < nVer; ++i)  //循環除過下標為0外的全部頂點
        {  
            lowcost[i] = Edges[0][i];  // 將v0頂點與之有邊的權值存入數組 
            adjvex[i] = 0;             // 並初始化都為v0的下標
        }  

        for (i = 1; i < nVer; ++i) 
        {  
            min = INFINITY;  // 初始化最小權值為常數，通常設置為不可能到達的數值
            k = 0;    // 復位

            for (j = 1; j < nVer; ++j)  
            {  
                // 如果兩個頂點之間存在邊有權值，不為0並且小於min  
                if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)  
                {  
                    min = lowcost[j];  // 緩存最小值
                    k = j;    // 將當前最小值的下標緩存入k
                }
            }  
            cout << "("<< adjvex[k] << "," << k << ")" << endl;   //打印當前頂點邊中權值最小的邊  
            lowcost[k] = 0;                     // 將當前頂點的權值設為0，表示此頂點已經完成任務  

            for (j = 1; j < nVer; ++j)  // 循環所有節點
            {  
                if (lowcost[j] != 0 && Edges[k][j] < lowcost[j])  
                {  // 若下標為k頂點各邊權值小於此前這些頂點未被加入生成樹權值
                    lowcost[j] = Edges[k][j]; // 用較小者替換  
                    adjvex[j] = k;  // 將下標為k的頂點存入adjvex
                }  
            }  
        }

        delete []adjvex;
        delete []lowcost;
        adjvex = NULL;
        lowcost = NULL;
    }
};

template<class NameType, class DistType>
istream & operator>>(istream &in, Graph<NameType,DistType> &g)
{
    g >> in;
    return in;
}

template<class NameType, class DistType>
ostream & operator<<(ostream &out, const Graph<NameType,DistType> &g)
{
    g << out;
    return out;
}

void main()
{
    Graph<char, int> myg;
    cin >> myg;
    cout << "打印所有輸入信息：" << endl;
    cout << myg << endl;
    cout << "最小生成樹邊信息如下：" << endl;
    myg.MiniSpanTree();
    cout << endl;
}

代碼中所引用是頭文件SeqList.h從隨筆《順序表》拷貝即可，也可以自己另行處理。

 

Good  Good  Study,  Day  Day  Up.

順序   選擇   循環   總結