三維動畫形變算法（Linear rotation-invariant coordinates和As-Rigid-As-Possible）

      在三維網格形變算法中，個人比較喜歡下面兩個算法，算法的效果都比較不錯， 不同的是文章[Lipman et al. 2005]算法對控制點平移不太敏感。下面分別介紹這兩個算法：

　　文章[Lipman et al. 2005]提出的網格形變算法需要求解兩次稀疏線性方程組：第一個方程定義了網格上離散坐標系之間的關系，通過求解該方程可以重組每個頂點的坐標系；第二個方程記錄了頂點在局部坐標系的位置信息，通過求解該方程可以得到每個頂點的幾何坐標。

在網格頂點建立局部坐標系（b₁ⁱ，b₂ⁱ，Nⁱ），i∈V。對於(i，j)∈E，定義差分算子δ：

δ_j(b₁ⁱ) = b₁^j – b₁ⁱ

δ_j(b₂ⁱ) = b₂^j – b₂ⁱ

δ_j(Nⁱ) = N^j – Nⁱ

       將差分算子表示為b₁ⁱ，b₂ⁱ，Nⁱ的形式：

δ_j(b₁ⁱ) = C₁₁^ijb₁ⁱ + C₁₂^ijb₂ⁱ + C₁₃^ijNⁱ

δ_j(b₂ⁱ) = C₂₁^ijb₁ⁱ + C₂₂^ijb₂ⁱ + C₂₃^ijNⁱ

δ_j(Nⁱ) = C₃₁^ijb₁ⁱ + C₃₂^ijb₂ⁱ + C₃₃^ijNⁱ

       進一步表示為：

b₁^j = (C₁₁^ij+1)b₁ⁱ + C₁₂^ijb₂ⁱ + C₁₃^ijNⁱ

b₂^j = C₂₁^ijb₁ⁱ + (C₂₂^ij+1)b₂ⁱ + C₂₃^ijNⁱ

N^j = C₃₁^ijb₁ⁱ + C₃₂^ijb₂ⁱ + (C₃₃^ij+1)Nⁱ

　　上式為第一個方程，記錄了網格上離散坐標系之間的關系，其中的系數可以由原始網格得到。

x^j - xⁱ = <e_ij , b₁ⁱ >b₁ⁱ + <e_ij , b₂ⁱ >b₂ⁱ + <e_ij , Nⁱ >Nⁱ

　　上式為第二個方程，記錄了頂點在局部坐標系的位置信息，其中的系數也可以由原始網格得到。

　　算法效果：

 

　　文章[Sorkine et al. 2007]提出了ARAP的網格形變算法，網格頂點的一環鄰域三角片組成一個單元（Cell），當頂點i對應的單元C_i變形為C_i’時，定義其剛性（rigidity）能量函數為：

　　網格上所有單元的剛性能量之和為：

 

　　根據能量函數，算法實現過程分兩步進行迭代，第一步更新R_i，第二步更新 p_i’，下面為具體推導過程。

　　1.更新R_i：

　　設e_ij = p_i - p_j，那么能量函數E(S’)可以表示為：

　　忽略不含R_i的項，那么：

　　定義協方差矩陣S_i：，將S_i奇異值分解：S_i = U_iΣ_iV_i^T，那么R_i = V_iU_i^T。

　　2.更新p_i’：

　　權重w_ij和w_i分別為：w_ij = 1/2(cotα_ij + cotβ_ij)，w_i = 1。我們將E(S’)對p_i’求偏導，並令其等於零：

 

　　上式中w_ij = w_ji，於是，那么我們可以得到：

 

　　上式相當於求解稀疏矩陣方程組。

　　算法效果：

 

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參考文獻：

[1] Y. Lipman, O. Sorkine, D. Levin, and D. Cohen-Or. 2005. "Linear rotation-invariant coordinates for meshes." In ACM SIGGRAPH 2005 Papers (SIGGRAPH '05) 24:3 (2005), 479-487.

[2] O. Sorkine and M. Alexa. "As-Rigid-As-Possible Surface Modeling." In Proc. of Eurographics Symposium on Geometry Processing. Aire-la-Ville, Switzerland: Eurographics Association, 2007.