三維動畫形變算法（Gradient-Based Deformation）

　　將三角網格上的頂點坐標（x，y，z）看作3個獨立的標量場，那么網格上每個三角片都存在3個獨立的梯度場。該梯度場是網格的微分屬性，相當於網格的特征，在形變過程中隨控制點集的移動而變化。那么當用戶拖拽網格上的控制點集時，網格形變問題即變為求解以下式子：

　　根據變分法，上式最小化即求解泊松方程：

其中Φ為待求的網格形變后坐標，w為網格形變后的梯度場。

　　上式可以進一步表示為求解稀疏線性方程組：

其中L為網格的拉普拉斯算子，b為梯度場w在網格頂點處的散度值。

 

　　問題的關鍵是如何得到網格形變后的梯度場w，文章[Yu et al. 2004]提到其是通過由控制點集變換的加權運算得到，並且提出了幾種不同的加權方式（線性加權，高斯加權等）。另外文章[Zayer et al. 2005]中提到可以在網格內構建一個調和場作為加權系數。

 

1.離散梯度算子定義：

      假設f是一個分片線性函數，在網格的每個三角片{x_i，x_j，x_k}的頂點處有f(x_i)=f_i，f(x_j)=f_j，f(x_k)=f_k，通過線性插值可以知道f在三角片上每一點處的值為： 

　　這樣f的梯度如下： 

其中基函數Φ_i，Φ_j，Φ_k滿足Φ_i+Φ_j+Φ_k=1，那么它們梯度之和▽Φ_i+▽Φ_j+▽Φ_k=0。所以f的梯度可以寫成如下形式： 

　　經簡單計算可以求得▽Φ_i的表達式是，同樣也可以寫出▽Φ_j、▽Φ_k的表達式，其中⊥表示將向量逆時針旋轉90度，A表示三角片的面積。

2.離散散度算子定義：

       設向量值函數w：S→R³，S表示網格，w表示在每個三角片上的向量，那么w在頂點x_i處的散度可以定義為：

其中T(x_i)表示頂點x_i的1環鄰域三角片，A_T表示三角片T的面積。

 

3.離散Laplace算子定義：

       將梯度算子表達式代入散度算子表達式可以得到頂點x_i處的Laplace算子如下形式：

其中N(x_i)表示頂點x_i的1環鄰域點。

 

效果：

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參考文獻：

[1] Y. Yu, K. Zhou, D. Xu, X. Shi, H. Bao, B. Guo, and H.-Y. Shum. "Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 23:3 (2004), 644-51.

[2] R. Zayer, C. Rossl, Z. Karni, and H.-P. Seidel. "Harmonic Guidance for Surface Deformation." Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics) 24:3 (2005), 601-10.

[3] 許棟. 微分網格處理技術[D]. 浙江大學, 2006.

[4] 劉昌森. 三角網格曲面上的laplace算子及其應用[D]. 中國科學技術大學, 2012.