三維動畫形變算法（Laplacian-Based Deformation）

　　網格上頂點的Laplace坐標（均勻權重）定義為：，其中d_i為頂點v_i的1環鄰域頂點數。

　　網格Laplace坐標可以用矩陣形式表示：△=LV，其中，那么根據網格的Laplace坐標通過求解稀疏線性方程組可以得到網格的頂點坐標。

　　基於網格Laplace形變算法的思想：網格上頂點的Laplace坐標作為網格的細節特征，其在網格形變前后的局部坐標系內不發生變化。Laplace形變問題可以用如下數學優化形式表達，那么問題的關鍵是如何得到網格形變后的Laplace坐標，或者說是每個頂點Laplace坐標的變換T_i。 

 

 

　　文章[Lipman et al. 2004]形變算法主要包括以下步驟：

　　1.在初始網格頂點上建立局部坐標系，先利用原始Laplace坐標將網格進行形變；

　　2.在形變后的網格頂點上建立局部坐標系，根據形變前后Laplace坐標在局部坐標系內不變，估計形變后網格頂點的Laplace坐標，如下：

δ(v_j)=αn_j+βu_ji+γ(n_j×u_ji)

δ(v_j’)=αn_j’+βu_ji’+γ(n_j’×u_ji’)

其中：n_j和n_j’為形變前后頂點v_j的法向，u_ji和u_ji’為形變前后邊ji在頂點v_j切平面內的投影方向，δ(v_j)和δ(v_j’)為形變前后頂點v_j的Laplace坐標。

　　3.根據編輯后的Laplace坐標求解形變后網格的頂點坐標。

　　步驟2和步驟3可以進行迭代。

　　算法效果：拖動藍色控制點后，發現隨着算法迭代次數的增加，網格表面細節特征逐漸恢復。

 

 

　　文章[Sorkine et al. 2004]形變算法是將優化表達式中T_i表示成v_i’相關的形式，這樣就可以直接求解得到形變后網格頂點坐標v_i’，不需要迭代求解，具體過程如下：

T_i在小角度情況下可以近似為：，將T_i表示v_i’線性相關的形式：

 

其中：。

　　這樣T_i就表示成了v_i’線性相關的形式，然后根據優化表達式通過最小二乘法即可求得v_i’。

　　算法效果：藍色控制點從下向上拖拽時的網格形變效果。

 

 

　　前文介紹的Possion形變和Laplace形變是基於網格表面的形變，在大尺度網格形變時，算法不保證體圖細節。文章[Zhou et al. 05]提出了基於體圖的Laplace形變算法，對於輸入網格M，構造兩種體圖：填充網格內部的圖g_in用來防止大尺度形變時不自然的體積變化；覆蓋網格外側的圖g_out用來防止局部自交。

 

藍色為輸入網格M；紅色為填充網格內部的圖g_in；綠色為覆蓋網格外側的圖g_out

　　為了平衡保持網格表面幾何細節和保持體圖幾何細節兩個目標，優化函數修改為以下形式：

 

其中，圖g的前n個點就是網格M的點。L^M是網格的離散Laplace算子；g’是去掉M中的邊之后的g的子圖；對網格M中的點，ε_i(1≤i≤n)是形變后網格的Laplace坐標；對子圖g’中的點，δ_i(1≤i≤N)是形變后體圖的Laplace坐標。形變能量分為三個部分，分別刻畫保持表面幾何細節、滿足用戶指定約束和保持體圖細節的程度。

　　算法效果：Possion形變不保持體圖細節，Volumetric laplacian形變保持體圖細節。

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參考文獻：

[1] Y. Lipman, O. Sorkine, D. Cohen-Or, D. Levin, C. Rossl, and H.-P. Seidel. "Differential Coordinates for Interactive Mesh Editing." In Proc. of Shape Modeling International, pp.181-90. Washington, DC: IEEE Computer Society, 2004.

[2] O. Sorkine, D. Cohen-Or, Y. Lipman, M. Alexa, C. Rossl, and H.-P. Seidel. "Laplacian Surface Editing." In Proc. of Eurographics Symposium on Geometry Processing, pp. 179-88. Aire-la-Ville, Switzerland: Eurographics Association, 2004.

[3] K. Zhou, J. Huang, J. Snyder, X. Liu, H. Bao, B. Guo, and H.-Y.Shum. "Large Mesh Deformation Using the Volumetric Graph Laplacian." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 24:3 (2005), 496-503.

[4] 黃勁. 大尺度幾何形變理論與方法[D]. 浙江大學, 2007.