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本系列從零起步，作為學習筆記與大家分享，從基礎的數學和圖形理論，一步一步實現基於物理的渲染。
Reference：《PBRT》、《Ray Tracing from the Ground Up》
由於光源是三維空間中的輻射光能，對於其傳播范圍通常使用立體角來描述，先來看一下什么是立體角。
立體角Solid Angles
立體角表示一個錐面所圍成的空間部分，用符號\(\omega \)表示。
立體角是以圓錐體的頂點為心，半徑為r的球面被錐面所截得的面積來度量的，度量單位為“球面度”（steradian，符號∶sr）。球面度表示為三維弧度。
在球坐標系中，球面的極小面積\({dA}_{2}\)為：
\({dA}_{2}=({r}\,\sin\theta\, {d}\varphi )({r\,d\theta })={r}^{2}(\sin\theta\,{d\theta }\,{d}\varphi)\)
整個球面面積為\({dA}\)的積分：
\({A}=\int {dA}_{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}({r}\,\sin\theta\, {d}\varphi*{r\,d\theta })={r}^{2}\int_{0}^{2\pi}{d}\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,{d}\theta\)
極小立體角定義為球面面積與球半徑平方的比值，即：
\({d\omega} = \frac{dA}{{r}^{2}}=\sin\theta\,{d}\theta\,{d}\varphi\)
對上式積分：
\({\omega} = \int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{\pi } \sin \theta\, {d\theta }={4\pi }\)
可知，最大立體角就是單位球體的表面積。
半球積分
半球積分方程表示為：\({I} = \int_{\omega}{f(\theta, \phi)\cos \theta \, d\omega}\)
其中，\({(\theta, \phi)} \in {[0, \frac{\pi}{2}] [0, 2\pi]}\)，\({\omega \in [0, 2\pi]}\)，\(\cos\theta \, d\omega\)表示立體角在水平面\({(x, y)}\)上的投影，又稱為投影立體角。
當函數\({f(\theta, \phi)} = \cos^{n-1} \theta \)時，
\({I} = \int_{2\pi} \cos^{n} \theta \, {d\omega}\)
\(= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{n}\theta \sin\theta \, d\phi}\)
\(= \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{2\pi} {\cos^{n}\theta \sin\theta \, d\theta} \)
\(= {2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}\theta \, \sin\theta \, d\theta}\)
\(= {2\pi \left[\frac{{\cos\theta}^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{2\pi}{n+1}\)
最終得出當\({f(\theta, \phi)} = \cos^{n-1} \theta \)時，半球積分為：\({I} = \frac{2\pi}{n+1}\)