1. 真值和機器數
真值:數的實際值,用正負號和絕對值的某進制形式來表示,如+1010,-12,-FFFF等.
機器數:真值在計算機中的二進制表示,特點是符號數字化且數的大小受機器字長限制,其表示形式有原碼,補碼,反碼,移碼等.
2. 原碼.
1). 定點小數:
\[{x_{[{\rm{原}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x,0 \le x < 1}\\
{{2^0} - x = {2^0} + \left| x \right|, - 1 < x \le 0}
\end{array}} \right.\]
(其中x[原]是機器數,x是真值,最高位為符號位,下同.)
表示范圍:
\[\max = 1 - {2^{ - n}},\min = - (1 - {2^{ - n}})\]
(n是指x除符號位的位數,下同)
如: x=+0.1011, x[原]=0.1011
x=-0.1011, x[原]=1.1011
2). 定點整數:
\[{x_{[原]}} = \left\{ \begin{array}{l}
x,0 \le x < {2^{\rm{n}}}\\
{2^n} - x = {2^n} + |x|, - {2^n} < x \le 0
\end{array} \right.\]
表示范圍:
\[\max = {2^n} - 1,\min = - ({2^n} - 1)\]
如:x=+1011,x[原]=01011
x=-1011,x[原]=11011
3). 特點:
原碼實質上為符號位加上數的絕對值,0正1負;
原碼零有兩個編碼,+0和 -0編碼不同,表示不唯一;
原碼加減運算復雜,乘除運算規則簡單;
原碼表示簡單,易於同真值之間進行轉換.
3. 補碼
1). 定點小數:
\[{x_{[補]}} = \left\{ \begin{array}{l}
x,0 \le x < 1\\
2 + x = 2 - |x|, - 1 \le x \le 0
\end{array} \right.(\bmod 2)\]
表示范圍:
\[\max = 1 - {2^{ - n}},\min = - 1\]
如:x=+0.1011, x[補]=0.1011
x=-0.1011, x[補]=10+x=10.0000-0.1011=1.0101
2). 定點整數:
\[{x_{[補]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x,0 \le x < {2^{\rm{n}}},0 \le x < {2^n}}\\
{{2^{n + 1}} + x = {2^{n + 1}} - |x|, - {2^n} \le x \le 0}
\end{array}(\bmod {2^{n + 1}})} \right.\]
表示范圍:
\[\max = {2^n} - 1,\min = - {2^n}\]
如:x=+1011,x[補]=01011
x=-1011, x[補]=2^5 – |-1011|=100000 – 1011=10101
3). 特點
負數補碼實質上為原碼除符號位按位取反再加1
補碼最高一位為符號位,0正1負;
補碼零有唯一編碼;
補碼能很好用於加減運算;
補碼滿足x[補]+(-x)[補]=0;
補碼最大的優點在於能夠將減法運算轉換成加法運算,其中符號位參與運算,它滿足:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y)}_{\left[ 補 \right]}} = {\rm{ }}{x_{\left[ 補 \right]}} + {\rm{ }}{y_{\left[ 補 \right]}}}\\
{{{(x{\rm{ }} - {\rm{ }}y)}_{\left[ 補 \right]}} = {\rm{ }}{x_{\left[ 補 \right]}} + {\rm{ (}} - y{)_{\left[ 補 \right]}}}
\end{array}\]
例如:
\[\begin{array}{l}
x = {11_{[10]}} = {1011_{[2]}},y = {5_{[10]}} = {0101_{[2],}}\\
{(x - y)_{[補]}} = {x_{[補]}} + {( - y)_{[補]}} = 01011 + 11011 = 100110(溢出) = 00110 = {6_{[10]}} = x - y\;\;
\end{array}\]
4). 補碼和原碼轉換.
正數:x[補]=x[原]
負數:按位取反,末位加1(符號位除外)
如:x= -1001001, x[原]=11001001,x[補]=10110110+1=10110111
5). 補碼和真值的轉換
\[{\rm{補碼}}\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{符號 = }}0{\rm{ - 正}},{\rm{余下為數值部分}}\\
{\rm{符號 = }}1{\rm{ - 負}},{\rm{余下求補為數值部分}}
\end{array} \right.\]
4. 反碼
1). 定點小數
\[{x_{[{\rm{反}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x,0 \le x < 1}\\
{(2 - {2^{ - n}}) + x = 2 + x - {2^{ - n}}, - 1 < x \le 0}
\end{array}} \right.\]
范圍:
\[\max = 1 - {2^{ - n}},\min = - (1 - {2^{ - n}})\]
如:x=0.1011,x[反]=0.1011
x=-0.1011,x[反]=1.0100
2). 定點整數
\[{x_{[{\rm{反}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x,0 \le x < {2^{\rm{n}}}}\\
{({2^{n + 1}} - 1) + x = {2^{n + 1}} + x - 1, - {2^n} < x \le 0}
\end{array}} \right.\]
范圍:
\[\max = {2^n} - 1,\min = - ({2^n} - 1)\]
如:x=1011,x[反]=01011
x=-1011,x[反]=10100
3). 特點
負數反碼實質上為原碼除符號按位求反,也就是補碼-1;
反碼零有兩個編碼,+0 和 -0 的編碼不同;
反碼難以用於加減運算;
反碼的表示范圍與原碼相同.
5. 移碼:用於表示浮點數的階碼
1). 定義
\[x[移] = {2^n} + x, - {2^n} \le x < {2^n}\]
范圍:
\[\max = {2^{n + 1}} - 1,\min = 0\]
如:x=+1011,x[移]=11011
x=-1011,x[移]=00101
2). 特點
移碼中符號位表示的規律與原碼,補碼,反碼相反——"1"正"0"負;
移碼為全0時所對應的真值最小,為全1時所對應的真值最大,移碼的大小直觀地反映了真值的大小,這有助於兩個浮點數進行大小比較;
真值0在移碼中的表示形式是唯一的;
移碼把真值映射到一個正數域,所以可將移碼視為無符號數,直接按無符號數規則比較大小;
同一數值的移碼和補碼除最高位相反外,其他各位相同.
3). 移碼和補碼轉換
\[\begin{array}{l}
{x_{[補]}} = \left\{ \begin{array}{l}
x,0 \le x < {2^n}\\
{2^{n + 1}} + x, - {2^n} \le x \le 0
\end{array} \right.\\
{x_{[移]}} = {2^n} + x, - {2^n} \le x < {2^n}\\
{x_{[移]}} = \left\{ \begin{array}{l}
{x_{[補]}} + {2^n},0 \le x < {2^n}\\
{x_{[補]}} + {2^n} - {2^{n + 1}} = {x_{[補]}} - {2^n}, - {2^n} \le x \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\]