LCA 最近公共祖先
Tarjan(離線)算法的基本思路及其算法實現
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//由於這是第一篇博客..有點瑕疵...比如我把false寫成了flase...看的時候注意一下！
//還有...這篇字比較多 比較雜....畢竟是第一次嘛 將就將就 后面會重新改！！！
首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：
在一棵沒有環的樹上，每個節點肯定有其父親節點和祖先節點，而最近公共祖先，就是兩個節點在這棵樹上深度最大的公共的祖先節點。
換句話說，就是兩個點在這棵樹上距離最近的公共祖先節點。
所以LCA主要是用來處理當兩個點僅有唯一一條確定的最短路徑時的路徑。
有人可能會問：那他本身或者其父親節點是否可以作為祖先節點呢？
答案是肯定的，很簡單，按照人的親戚觀念來說，你的父親也是你的祖先，而LCA還可以將自己視為祖先節點。
舉個例子吧，如下圖所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。 
這就是最近公共祖先的基本概念了，那么我們該如何去求這個最近公共祖先呢？
通常初學者都會想到最簡單粗暴的一個辦法：對於每個詢問，遍歷所有的點，時間復雜度為O(n*q)，很明顯，n和q一般不會很小。
常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增
后兩個算法都是在線算法，也很相似，時間復雜度在O(logn)~O(nlogn)之間，我個人認為較難理解。
有的題目是可以用線段樹來做的，但是其代碼量很大，時間復雜度也偏高，在O(n)~O(nlogn)之間，優點在於也是簡單粗暴。
這篇博客主要是要介紹一下Tarjan算法(其實是我不會在線...)。
什么是Tarjan(離線)算法呢？顧名思義，就是在一次遍歷中把所有詢問一次性解決，所以其時間復雜度是O(n+q)。
Tarjan算法的優點在於相對穩定，時間復雜度也比較居中，也很容易理解。
下面詳細介紹一下Tarjan算法的基本思路：
1.任選一個點為根節點，從根節點開始。
2.遍歷該點u所有子節點v，並標記這些子節點v已被訪問過。
3.若是v還有子節點，返回2，否則下一步。
4.合並v到u上。
5.尋找與當前點u有詢問關系的點v。
6.若是v已經被訪問過了，則可以確認u和v的最近公共祖先為v被合並到的父親節點a。
遍歷的話需要用到dfs來遍歷(我相信來看的人都懂吧...)，至於合並，最優化的方式就是利用並查集來合並兩個節點。
下面上偽代碼：
1 Tarjan(u)//marge和find為並查集合並函數和查找函數
2 { 3 for each(u,v) //訪問所有u子節點v
4 { 5 Tarjan(v); //繼續往下遍歷
6 marge(u,v); //合並v到u上
7 標記v被訪問過; 8 } 9 for each(u,e) //訪問所有和u有詢問關系的e
10 { 11 如果e被訪問過; 12 u,e的最近公共祖先為find(e); 13 } 14 }
個人感覺這樣還是有很多人不太理解，所以我打算模擬一遍給大家看。
建議拿着紙和筆跟着我的描述一起模擬！！
假設我們有一組數據 9個節點 8條邊 聯通情況如下：
1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下圖所示的樹
設我們要查找最近公共祖先的點為9--8，4--6，7--5，5--3；
設f[]數組為並查集的父親節點數組，初始化f[i]=i，vis[]數組為是否訪問過的數組，初始為0; 
下面開始模擬過程：
取1為根節點，往下搜索發現有兩個兒子2和3；
先搜2，發現2有兩個兒子4和5，先搜索4，發現4沒有子節點，則尋找與其有關系的點；
發現6與4有關系，但是vis[6]=0，即6還沒被搜過，所以不操作；
發現沒有和4有詢問關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；
表示4已經被搜完，更新f[4]=2，繼續搜5，發現5有兩個兒子7和8;
先搜7，發現7有一個子節點9，搜索9，發現沒有子節點，尋找與其有關系的點；
發現8和9有關系，但是vis[8]=0,即8沒被搜到過，所以不操作；
發現沒有和9有詢問關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；
表示9已經被搜完，更新f[9]=7，發現7沒有沒被搜過的子節點了，尋找與其有關系的點；
發現5和7有關系，但是vis[5]=0，所以不操作；
發現沒有和7有關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；
表示7已經被搜完，更新f[7]=5，繼續搜8，發現8沒有子節點，則尋找與其有關系的點；
發現9與8有關系，此時vis[9]=1，則他們的最近公共祖先為find(9)=5；
(find(9)的順序為f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
發現沒有與8有關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；
表示8已經被搜完，更新f[8]=5，發現5沒有沒搜過的子節點了，尋找與其有關系的點；
發現7和5有關系，此時vis[7]=1，所以他們的最近公共祖先為find(7)=5；
(find(7)的順序為f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
又發現5和3有關系，但是vis[3]=0，所以不操作，此時5的子節點全部搜完了；
返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已經被搜完，更新f[5]=2；
發現2沒有未被搜完的子節點，尋找與其有關系的點；
又發現沒有和2有關系的點，則此前一次搜索，更新vis[2]=1；
表示2已經被搜完，更新f[2]=1，繼續搜3，發現3有一個子節點6；
搜索6，發現6沒有子節點，則尋找與6有關系的點，發現4和6有關系；
此時vis[4]=1，所以它們的最近公共祖先為find(4)=1;
(find(4)的順序為f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)
發現沒有與6有關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已經被搜完了；
更新f[6]=3，發現3沒有沒被搜過的子節點了，則尋找與3有關系的點；
發現5和3有關系，此時vis[5]=1，則它們的最近公共祖先為find(5)=1；
(find(5)的順序為f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)
發現沒有和3有關系的點了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=1；
更新f[3]=1，發現1沒有被搜過的子節點也沒有有關系的點，此時可以退出整個dfs了。
經過這次dfs我們得出了所有的答案，有沒有覺得很神奇呢？是否對Tarjan算法有更深層次的理解了呢？
如果有什么不懂可以在下面 留言提問 or 發送問題到1136404654@qq.com。
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