最近公共祖先 LCA 倍增算法

倍增算法可以在線求樹上兩個點的LCA，時間復雜度為nlogn

預處理：通過dfs遍歷，記錄每個節點到根節點的距離dist[u]，深度d[u]

init()求出樹上每個節點u的2^i祖先p[u][i]

求最近公共祖先，根據兩個節點的的深度，如不同，向上調整深度大的節點，使得兩個節點在同一層上，如果正好是祖先結束，否則，將連個節點同時上移，查詢最近公共祖先。

void dfs(int u){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int to=edge[i].to;
        if(to==p[u][0])continue;
        d[to]=d[u]+1;
        dist[to]=dist[u]+edge[i].w;
        p[to][0]=u; //p[i][0]存i的父節點
        dfs(to); 
    }
}

i的2^j祖先就是i的（2^(j-1))祖先的2^(j-1)祖先:

void init(){
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}

LCA:

int lca(int a,int b){
    if(d[a]>d[b])swap(a,b); //b在下面 
    int f=d[b]-d[a];//f是高度差
    for(int i=0;(1<<i)<=f;i++){//(1<<i)&f找到f化為2進制后1的位置，移動到相應的位置
        if((1<<i)&f)b=p[b][i];//比如f=5(101),先移動2^0祖先，然后再移動2^2祖先
    }
    if(a!=b){
        for(int i=(int)log2(N);i>=0;i--){
            if(p[a][i]!=p[b][i]){//從最大祖先開始，判斷a,b祖先，是否相同
                a=p[a][i]; b=p[b][i];//如不相同，a b同時向上移動2^j
            }
        }
        a=p[a][0];//這時a的father就是LCA
    }
    return a;
}