最近公共祖先

最近公共祖先（\(\rm Least\,Common\,Ancestors\)），簡記為 \(\rm LCA\)。顧名思義就是一棵樹中的某兩個節點的公共的祖先中離他們最近，即深度最大的那個。

舉個例子：

上圖中 \(8\) 和 \(6\) 的 LCA 就是 \(1\)。

那么怎么求 LCA 呢？

1. 向上標記法

思路十分簡單。

我們現在要求 \(\operatorname{LCA(x,y)}\)。首先從 \(x\) 向上爬到根節點 \(rt\)，經過的每一個節點都打上標記。然后從 \(y\) 向上到 \(rt\)，遇到的第一個有標記的節點就是 \(LCA\)。

代碼實現很簡單，就不給了。

2. 同步前進法

求 \(\operatorname{LCA(x,y)}\) 的具體方法為：

1. 先讓 \(x\) 的深度大於或等於 \(y\)。這相當於數學上的一個假設：\(dep(x)\ge dep(y)\)（\(dep\) 代表深度）
2. 不停地將 \(x\) 往上跳，直到 \(x\) 和 \(y\) 深度相等。
3. 特判：若 \(x=y\) 那 \(LCA\) 就是 \(x\) 了。
4. 否則在保證 \(fa(x)\ne fa(y)\)（\(fa\) 代表父親） 的情況下 \(x\) 和 \(y\) 同時向上跳一格。
5. \(LCA\) 就是 \(x\) 的父親。

以上面的 \(8\) 和 \(6\) 為例：

1. \(dep(8)>dep(6)\)，無需交換。
2. \(8\) 跳到 \(4\)，\(dep(4)=dep(6)\)。
3. \(4\ne6\)。
4. \(fa(4)=2\ne fa(6)=3\)，\(4\) 跳到 \(2\)，\(6\) 跳到 \(3\)；\(fa(2)=1=fa(3)\)，停止。
5. \(\operatorname{LCA(8,6)}=fa(2)=1\)。

在此之前還需 dfs 一遍求出 \(dep\) 和 \(fa\)。

void dfs(int u, int father)
{
	fa[u] = father;
	dep[u] = dep[father] + 1; //u深度即father深度加1
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].to;
		if (v != father)
		{
			dfs(v, u);
		}
	}
}

int lca(int x, int y)
{
	if (dep[x] < dep[y])
	{
		swap(x, y); //讓x的深度大於或等於y
	}
	while (dep[x] > dep[y])
	{
		x = fa[x]; //向上跳
	}
	if (x == y)
	{
	  	return x; //特判
	}
	while (fa[x] != fa[y])
	{
		x = fa[x]; //同時跳
		y = fa[y];
	}
	return fa[x]; //LCA是父親
}

但以上兩種方法時間復雜度均為 \(\operatorname{O}(nm)\)……

然后洛谷 A 了。

對於 \(100\%\) 的數據，\(N\le500000\)，\(M\le500000\)。

數據太水了啊啊啊！！！

出數據的真良心。。。

3. 倍增

上面暴力算法顯然過慢，所以我們要使用倍增算法，也是一種空間換時間的策略。

先預處理出 \(lg\) 數組，用來保存 \(\left\lfloor log_2x\right\rfloor\)

for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
}

記 \(fa(x)(i)\) 為 \(x\) 的第 \(2^i\) 級祖先，dfs 時要算 \(fa(u)(i)\)。

LCA 的第 \(2\) 步，\(x\) 直接向上跳 \(lg(dep(x)-dep(y))\) 格。第 \(4\) 步時，我們遍歷 \(i=lg(dep(x))+1\sim0\)，每次 \(x\) 和 \(y\) 同時向上跳 \(2^i\) 格。

void dfs(int u, int father)
{
	fa[u][0] = father; //u的第1級祖先就是父親
	dep[u] = dep[father] + 1;
	for (int i = 1; i <= lg[dep[u]] + 1; i++)
	{
		fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
	} //算fa(u)(i)
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].to;
		if (v != father)
		{
			dfs(v, u);
		}
	}
}

int lca(int x, int y)
{
	if (dep[x] < dep[y])
	{
		swap(x, y);
	}
	while (dep[x] > dep[y])
	{
		x = fa[x][lg[dep[x] - dep[y]]];
	}
	if (x == y)
	{
	  	return x;
	}
	for (int i = lg[dep[x]] + 1; i >= 0; i--)
	{
		if (fa[x][i] != fa[y][i])
		{
			x = fa[x][i];
			y = fa[y][i];
		}
	}
	return fa[x][0];
}

復雜度分析：

	時間	空間
暴力	預處理 \(\operatorname{O}(n)\)，每次詢問 \(\operatorname{O}(n)\)	\(\operatorname{O}(n)\)
倍增	預處理 \(\operatorname{O}(n\log n)\)，每次詢問 \(\operatorname{O}(\log n)\)	\(\operatorname{O}(n\log n)\)

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

暴力：

倍增：

用 LCA 求樹上兩點間的最短距離

還是以這張圖為例主要是我懶

\(8\) 和 \(5\)：

預處理出每個點到根節點的距離 \(dis(x)\)，這里因為是無權邊，\(dis(x)\) 直接就是 \(dep(x)\) 了。

先用 \(dis(8)\) 加上 \(dis(5)\)，此時多加了 \(2\) 遍 \(dis(2)\)，故 \(8\) 和 \(5\) 的距離就應該是 \(dis(8)+dis(5)-2\times dis(2)\)，即樹上 \(x\) 和 \(y\) 兩點間的最短距離為 \(dis(x)+dis(y)-2\times dis(LCA)\)。