上圖是《有限元分析基礎教程》中的圖。
這是《材料力學》（孫訓方）里面給出的圖。
之所以給出這兩幅圖，是因為在推導公式的時候，第一幅圖讓我誤解了：紅箭頭標注的微端中的外荷載$\bar{p(x)}$，看起來像是面荷載，實際推導公式的時候，$\bar{p(x)}$是個線荷載。由於兩幅圖中的一些符號不一致，我下面的推導均采用曾攀老師書中的符號，有的時候也將$\bar{p(x)}$簡寫成$\bar{p}$。
我們取梁的撓度方程$v(x)$作為整個推導的基本量，同時也是整個推導的核心，所有的推導其實都是圍繞這個$v(x)$來展開。至於為什么要將$v(x)$作為基本量，按照我個人的理解：
- 首先，對於梁，最關心當然是承受外力作用下的變形，也就是撓度沿着梁長度方向的變化規律，即$v(x)$。
- 如果我們建立了撓度的微分方程$v(x)$，那么在梁的兩端的撓度是已知的，也就是有非常明確的邊界條件的。
因為圖中梁只受到外力荷載$\bar{p(x)}$的作用，所以建立撓度方程$v(x)$關鍵就是建立撓度$v(x)$與外荷載$\bar{p(x)}$之間的關系。這個關系的建立可以很直觀的想到對於微段運用$Y$方向的合力平衡，即
\begin{equation}
(Q+dQ)+\bar{p(x)}dx-Q=0
\end{equation}
化簡后，可以得到
\begin{equation} \label{剪力與外荷載關系}
\dfrac{dQ}{dx}+\bar{p(x)=0}
\end{equation}
可以看到我們並沒有直接得到撓度$v(x)$與外荷載$\bar{p(x)}$之間的直接關系，而是得到了外荷載$\bar{p(x)}$與剪力$Q$之間的關系。下面就是如何建立剪力$Q$與撓度$v(x)$的關系，事實上這二者同樣也沒有直接的關系，而是需要繞一大圈才能找到二者的聯系。
我們考察微段中彎矩的平衡，對於微段的最左端求彎矩可以得到
\begin{equation}
(M+dM)-M-(Q+dQ)\cdot dx+\bar{p(x)}\cdot dx\cdot\dfrac{dx}{2}=0
\end{equation}
上式中$dQ\cdot dx$和$\bar{p(x)}\cdot dx\cdot\dfrac{dx}{2}$都是二階無窮小量，可以忽略，於是上式就變成了
\begin{equation} \label{彎矩與剪力關系}
Q=\dfrac{dM}{dx}
\end{equation}
通過式\ref{剪力與外荷載關系}和式\ref{彎矩與剪力關系}，我們可以建立彎矩$M$與外荷載之間的關系。另外這兩個公式也揭示了彎矩、剪力和荷載集度之間的關系：
剪力圖中某點處的切線斜率等於該點處荷載集度的大小；
彎矩圖上某點處的切線斜率等於改點處剪力的大小。
下面繼續考察彎矩$M$，考慮梁的純彎曲，參考孫訓方老師《材料力學》中的下圖：
考察橫截面上的外力平衡，橫截面上只收到繞Z方向的外力偶M作用，所以正應力$\sigma$在橫截面上積分產生的彎矩應該與外力偶相等，即
\begin{equation} \label{彎矩與應力關系}
M=\underset{A}{\int}\sigma\cdot y\cdot dA
\end{equation}
在式\ref{彎矩與應力關系}中我們找到了彎矩與應力的關系。繼續開腦洞：應力與應變存在關系，應變與曲率存在關系（通過梁彎曲后的幾何關系可以得到二者的關系），曲率與撓度方程存在關系（大一高數的知識）。至此，饒了一大圈，我們終於找了撓度$v(x)$與外荷載$\bar{p(x)}$之間的關系。總結一下，就是下面這個關系：
\[
撓度v(x)\rightarrow曲率\kappa\rightarrow應變\varepsilon\rightarrow應力\sigma\rightarrow彎矩 M\rightarrow 剪力Q\rightarrow外荷載\bar{p(x)}
\]
下面推導上述關系中撓度$v(x)$到應力$\sigma$之間的關系。
首先，撓度$v(x)$與曲率$\kappa$的關系為
\begin{equation} \label{撓度與曲率關系}
\kappa=\dfrac{v^{''}(x)}{(1+v^{'}(x)^{2})^{3/2}}=v^{''}(x)
\end{equation}
對於梁純彎曲下取微段，如下圖
對於距離中性層距離為$y$處的纖維層，它的應變$\varepsilon$和半徑$R$有如下關系
\begin{equation} \label{應變與半徑關系}
\varepsilon=\dfrac{(R-y)\cdot d\theta-R\cdot d\theta}{R\cdot d\theta}=-\dfrac{y}{R}\end{equation}
而我們知道，曲率$\kappa$和半徑$R$互為倒數關系，即
\begin{equation} \label{曲率與半徑關系}
\kappa=\dfrac{1}{R}
\end{equation}
根據虎克定律，應變與應力直接的關系為
\begin{equation} \label{應力與應變關系}
\sigma=E\varepsilon
\end{equation}
通過公式\ref{撓度與曲率關系}、\ref{應變與半徑關系}、\ref{曲率與半徑關系}、\ref{應力與應變關系}可以得到
\begin{equation} \label{應力與撓度關系}
\sigma=-E\cdot v^{''}(x)\cdot y
\end{equation}
把公式\ref{應力與撓度關系}帶入式\ref{彎矩與應力關系}，可以得到
\begin{equation} \label{彎矩與撓度關系}
M=\underset{A}{-\int}E\cdot v^{''}(x)\cdot y^{2}dA=-E\cdot v^{''}(x)\underset{A}{\int}y^{2}dA=-EI\cdot v^{''}(x)
\end{equation}
將式\ref{彎矩與撓度關系}帶入\ref{彎矩與剪力關系}，再代入\ref{剪力與外荷載關系}，即可得到最終撓度$v(x)$與外荷載$\bar{p(x)}$之間的關系，即
\begin{equation} \label{撓度與外荷載關系}
-EIv^{(4)}(x)+\bar{p(x)}=0
\end{equation}
另外還可以根據幾何關系得到撓曲線方程$v(x)$與梁上轉角$\theta$的關系，在小變形的情況下，我們有
\begin{equation} \label{撓度與轉角關系}
\theta\thickapprox tan\theta=v^{'}(x)
\end{equation}
由式\ref{撓度與轉角關系}可知，在某一點處撓曲線方程的導數表示轉角的大小。
精確解法（一）、直接將帶外荷載的微分方程積分求解
我們可以把式\ref{撓度與外荷載關系} 積分，即可得到撓曲線的方程$v(x)$，當然積分的過程中會產生未知系數，由於有四次積分，所以會產生四個未知系數。為了求出這四個待定系數，我們有四個邊界條件，分別是
- 在兩端的位移為0，即$v(0)=0$和$v(L)=0$;
- 在兩端的彎矩為0，即$v^{''}(0)=0$和$v^{''}(L)=0$
式\ref{撓度與外荷載關系} 經過四次積分后，可以得到
\begin{equation}
v(x)=\dfrac{P_{0}}{EI}(\dfrac{1}{24}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})\end{equation}
把四個邊界條件代入上式，可以得到最終的方程
\begin{equation} \label{撓曲線方程}
v(x)=\dfrac{P_{0}}{24EI}(x^{4}-2Lx^{3}+L^{3}x)
\end{equation}
精確解法（二）、直接將帶外荷載的微分方程積分求解
精確解法（一）中的微分方程里面是含有外荷載的，所以這個方程僅適用於簡支梁承受均布荷載的情況，對於其他外荷載的情況不再適用，所以我們需要尋找另外一種通用的方法。
注意到式\ref{彎矩與撓度關系} 表達了彎矩與撓曲線之間的微分關系，由於彎矩可知直接用含有$x$的方程表達出來，然后再根據式\ref{彎矩與撓度關系} 直接積分即可。
對於簡支梁承受均布荷載，彎矩方程為
\begin{equation}
M(x)=-\cfrac{1}{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}pLx
\end{equation}
將上式帶入式\ref{彎矩與撓度關系}積分，然后根據兩端撓度為0的位移條件，即可求出撓曲線方程，結果與式式\ref{撓曲線方程}式一樣的，過程我就不寫了。
總結
上面推導了在滿足一些假設的情況下，簡支梁的撓曲線方程的解析解，下一篇，我將會寫如何根據虛功原理和最小勢能原理求解簡支梁的撓曲線方程的近似解。