整數解的通解公式推導
二元一次不定方程的一般形式為：
ax + by = c ①
這里，a、b和c都是正整數，且滿足(a,b) = 1
由(a,b) = 1知，存在一對整數u和v，滿足 au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，則m, n這一對整數是方程①的一組特解，即有
am + bn = c ②
由①②，有
a(x-m) = -b(y-n)
(x-m)/b = -(y-n)/a := t
x = m + bt, y = n - at ③
由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即方程①的任意一組整數解都有唯一對應的整數t，於是③便是①的所有整數解的通解公式，t可為任意整數。易知這些整數解在平面直角坐標系中處在同一條直線（斜率為 -a/b）上。
實際上，通解公式③只要求a、b、c為整數且滿足(a,b)=1即可。
非負整數解的相關結論推導
考慮①的非負整數解，則③里的 t 需要滿足：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即
t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④
t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤
由於t為整數，⑤等價於 t ≤ [n/a]；④等價於 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等價於 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]
於是有
-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥
只要[n/a] ≥ -[m/b]，方程①就一定存在非負整數解。事實上，①的非負整數的解數為
M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦
例如就8x + 15y = 2而言，x = 4, y = -2是其一組特解，代入⑦，有
M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0
即8x + 15y = 2沒有非負整數解。
⑦給出的方程①的非負整數解數M的判別式需要借助一組特解，以下試圖只用常數a、b和c來表示M：
M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1
= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}
= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}
由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知
Δ = 0或-1，於是
M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧
⑧這個表示式里沒有特解，而只有a、b和c；和⑦同樣，⑧也是對①的非負整數解數的一個刻畫，但⑦是確定刻畫，⑧是不確定刻畫。例如對於8x + 15y = 2，如前述，由⑦可知該方程無非負整數解，而由⑧可知M=0或1，並不能明確該方程有無非負整數解。
由⑧知，當c ≥ ab時，方程①一定有非負整數解。利用⑦可以得到更為明確的結論，具體推導如下：
c = am + bn = (m/b + n/a)(ab)
c/(ab) = [m/b] + [n/a] + {m/b} + {n/a}
= M - 1 + {m/b} + {n/a}
≤ M - 1 + (b-1)/b + (a-1)/a = M + 1 - 1/a - 1/b
c ≤ abM + ab - a - b
於是有
abM ≥ c - ab + a + b ⑨
當c > ab - a - b時，⑨的右端為正整數，M必需大於0才能使得⑨成立，M為整數，所以M ≥ 1，即此時方程①必然存在非負整數解。
當c = ab - a - b時，①即為ax + by = ab - a - b，即
a(x+1) + b(y+1) = ab ⑩
假設該方程存在非負整數解，則由(a,b) = 1，可知
a | y+1, b | x+1
又由a、b、x+1、y+1均為正整數，有
x+1 ≥ b, y+1 ≥ a
於是⑩的左端不小於2ab，無法和⑩右端的ab相等。因此，當c = ab - a - b時，方程①沒有非負整數解。
有了上述綠色高亮所示的結論，則 求只用8分和15分的郵票（可無限重復）無法湊出的最大分值郵資 問題的解即可直接給出（即 8·15 - 8 - 15 = 97）。
正整數解的相關結論推導
考慮①的正整數解，則③里的 t 需要滿足：m + bt > 0 和 n - at > 0，即
t > -m/b = [-m/b] + {-m/b} ④'
t < n/a = -[-n/a] - {-n/a} ≤ -[-n/a] ⑤'
由⑤'，知 t < -[-n/a]，再由t為整數，知
t ≤ -[-n/a] - 1
由④'，有 -t < -[-m/b] - {-m/b} ≤ -[-m/b]
同樣有
-t ≤ -[-m/b] - 1
於是有
[-m/b] + 1 ≤ t ≤ -[-n/a] - 1 ⑥'
只要-[-n/a] ≥ [-m/b] + 2，方程①就一定存在正整數解。事實上，①的正整數的解數為
N := -[-n/a] - [-m/b] - 1 ⑦'
例如就8x + 15y = 2而言，把m = 4, n = -2這一組特解代入⑦'，有
N = -[2/8] - [-4/15] - 1 = -0 - (-1) - 1 = 0
即8x + 15y = 2沒有正整數解。
⑦'給出的方程①的正整數解數N的判別式需要借助一組特解，以下試圖只用常數a、b和c來表示N：
N = -[-n/a] - [-m/b] - 1
= {-n/a} + n/a + {-m/b} + m/b - 1
= c/(ab) - 1 + {-n/a} + {-m/b} [*]
= -[-c/(ab)] - 1 - {-c/(ab)} + {-n/a} + {-m/b}
由Λ := -{r+s} + {r} + {s} = -([r] + [s] - [r+s])，可知
Λ = 0或1，於是
N = -[-c/(ab)] - 1 或 -[-c/(ab)] ⑧'
⑧' 這個表示式里沒有特解，而只有a、b和c；和 ⑦' 同樣，⑧' 也是對①的正整數解數的一個刻畫，但 ⑦' 是確定刻畫，⑧' 是不確定刻畫。例如對於8x + 15y = 2，如前述，由 ⑦' 可知該方程無正整數解，而由 ⑧' 可知N=0或1，並不能明確該方程有無正整數解。
由 ⑧' 知，當c > ab時，方程①一定有正整數解。而當c = ab時，由 ⑧' 知，N=0或1，由此並不能明確方程①是否有正整數解。
當c = ab時，①即為
ax + by = ab ⑨'
假設該方程存在正整數解，由(a,b) = 1，知 b | x, a | y；再由a、b、x、y均為正整數，可知 x ≥ b, y ≥ a
於是 ⑨' 的左端不小於2ab，無法和 ⑨' 右端的ab相等。因此，當c = ab時，方程①沒有正整數解。
【*】如果把 c/(ab) 分拆為 [c/(ab)] 和 {c/(ab)}，則有 N = [c/(ab)] - 1 + {c/(ab)} + {-n/a} + {-m/b}，后三項為 Ω := {r+s} + {-r} + {-s} 的形式，0 ≤ Ω < 3。
由 Ω = {r+s} + {-r} + {-s} = -[-r] -[-s] - [r+s]，知 Ω 為整數。當r、s為整數時，Ω = 0；當0 < r, s < 1/2時， Ω = 2；當1/2 ≤ r, s < 1時，Ω = 1。
因此N的不確定表達會有三個取值，即 [c/(ab)] - 1、[c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1。比 ⑧' 更加不確定。
正整數解和非負整數解的有無判別的等價結論的證明
方程 ax + by = c 有正整數解的充分必要條件是方程 ax + by = c-a-b 有非負整數解。
證明：
（1）必要性
若 ax + by = c 有正整數解，即有正整數 m, n 滿足 am + bn = c，則有 a(m-1) + b(n-1) = c-a-b，即非負整數m-1, n-1是 ax + by = c-a-b 的一組解。
（2）充分性
若 ax + by = c-a-b 有非負整數解，即有非負整數 m, n 滿足 am + bn = c-a-b，則有 a(m+1) + b(n+1) = c，即正整數m+1, n+1是 ax + by = c 的一組解。
說明一下，這個等價結論不要求a、b、c為正整數，也不要求(a,b) = 1，a、b、c可以為任意實數（甚至為任意復數）。
這個等價結論非常簡單也非常明顯，卻能起到很不簡單的作用。比如上面推導出方程①在c > ab時一定有正整數解，按這個等價結論直接就推導出方程①在C > ab - a - b時一定有非負整數解；同樣，上面推導出方程①在c = ab時沒有正整數解，按這個等價結論直接就推導出方程①在C = ab - a - b時沒有非負整數解。反過來也是一樣的。即正整數解和非負整數解的結論只需推導出其中一個，由這個等價結論就能直接推導出另一個。