有限元中等效結點力的一點理解

前段時間想給算例加一種邊界條件，想着想着，發現寫的有限元程序適配度不夠高，得小小改動一下。

改着改着又發現關於等效結點力我好像一直沒理解透，只知道有這個東西，但是不清楚具體來歷，還是老老實實整理一下吧。

首先讓我們請出有限元 [👏]，考慮彈性力學平面問題的有限元推導，用的最小勢（位）能原理，得到勢能泛函：

\[\Pi = \int_{\Omega} \frac{1}{2} [\epsilon]^T [D] [\epsilon] t \mathrm{d}x \mathrm{d}y - \int_{\Omega} [u]^T [f] t \mathrm{d}x \mathrm{d}y - \int_{\Gamma} [u]^T [T] t \mathrm{d}\Gamma \]

其中，\([\epsilon]\) 為應變，\([D]\) 為彈性矩陣，\(t\) 為二維體厚度， \([u]\) 為位移，\([f]\) 為體積力，\([T]\) 為面力。對於有限元離散模型，系統的勢能是各個單元勢能之和，因此得到：

\[\Pi =\sum\Pi^e=\sum\{ [a^e]^T\int_{\Omega_e} \frac{1}{2} [B]^T [D] [B] t \mathrm{d}x \mathrm{d}y [a^e] - [a^e]^T \int_{\Omega_e} [N]^T [f] t \mathrm{d}x \mathrm{d}y - [a^e]^T \int_{\Gamma_e} [N]^T [T] t \mathrm{d}\Gamma \} \]

其中，\([a^e]\) 為單元結點位移向量 ， \([B]\) 為單元應變矩陣，\([N]\) 為單元形函數列陣。這兩公式擺出來有點勸退，😱，頂住。

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我們暫時先忽略體積力哈，單元等效結點載荷列陣就藏在上邊，我們把它揪出來：

\[[P^e] =\int_{\Gamma_e} [N]^T [T] t \mathrm{d}\Gamma \]

為什么是說是等效呢？因為 \([a^e]^T[P^e]\) 的物理意義就是 【等效的】外載荷 \([T]\) 在邊界位移 \([u]\) 下的勢能。

【力*位移】得到的是關於能量的一個值嘛，前面也說了，\([a^e]\) 是結點位移，\([P^e]\) 是定義的等效結點力，作用在結點上（這里只是假設的，其實並沒有一個這樣的力存在）。

這樣原本一個面上的面力（外載荷）在這個面的位移下的勢能，寫成了，面上每個結點的位移乘上對應的等效結點力，這便是等效結點力的物理意義了。

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現在來到實操部分，理論有了，實際程序該怎么算呢？

書上有個關於三角形單元，一邊均布面力的等效結點力計算，截圖如下：

我們發現，原本好端端的形函數 \([N]\)，這里怎么變身了呢？冷靜，肯定有貓膩！

如 2.2.49 式，形函數已經轉換到了局部坐標系，關於面力施加的那個面的一個坐標系，再仔細打量打量，咦，這不和兩點線性插值公式一樣嘛！

由以前所學的知識，我們知道，三角形單元是個常應變單元，位移模式是線性的，這里就把這個線性的概念用上，狠狠發揮了一波。

因此，在那條載荷邊上，結點 \(i,j\) 位移已知的話，這邊上的 x 方向位移就會是這樣變化的：

\[u_x|_\Gamma = N_i*u_{ix} + N_j*u_{jx} + N_m*u_{mx} \\ =(1-\frac{s}{l})u_{ix} + \frac{s}{l}u_{jx} \]

好了，現在，這一切都可以解釋通了。換一種思路，三角形單元 x 位移場寫成如下：

\[u_x = N_i(x,y)*u_{ix} + N_j(x,y)*u_{jx} + N_m(x,y)*u_{mx} \]

當 \((x,y) \in \Gamma\) 時，

\[u_x(x,y) = u_x|\Gamma \]

嗯，就是這樣了，對於四邊形單元，求等效結點力的時候考慮積分區間，結果很容易就計算出來了。

從這抄的

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[1] 王勖成. 有限單元法, 清華大學出版社, 北京, 2003.

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最后更新於 2021年1月25日 --- 最初發表於 2021年1月25日
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