- 首先，原理我是參考了這位博主，博主講的很細致，但是有一些細節沒有詳細的提及，在此把自己在參照該博主的matlab代碼后自己編程的過程紀錄一下，如果有人看博主的文章就已經懂了，那么我這篇文章可能就對這些游客多余了。https://blog.csdn.net/lusongno1/article/details/81125167
- 博主是自己畫的網格，COMSOL有導出網格的功能，所以我是借助了COMSOL里畫了一個簡單的模型然后導出網格再用MATLAB處理的，自我感覺網格的大小可以自定義，所以選擇這個方法。
- 處理網格，因為COMSOL導出的網格有自己的格式，且其邊界單元有一個缺點，不會區分給出的節點是那條邊上的，本問題中由於邊界都取０，所以沒什么影響，但是如果狄式邊界取值為非零值，則COMSOL不會告訴你哪條邊為非零值。當然，把邊界都設為０，作為有限元二維編程入門足夠了。網格的數據格式如下
- 進入正題，求解的題目為：
- 此時我有必要說明一下，希望大家不會犯我一樣的錯誤，以前我以為借助編程求解函數，那么很多步驟其實自己只要了解就好，不用從頭到尾的把函數求解一遍，感覺那樣跟自己手動求解沒什么兩樣。這種想法有缺陷，編程實際上就是把你整個推導過程寫成程序，如果你連每一步怎么來的，接下來該怎么走都不清楚，又何談把它編成程序，所以先把方程整個推導一遍是基礎。在我理解看來，編程也就是在算積分，單元總裝，求解部分有用，其他都是這幾步的鋪墊。
- 推導過程：
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%讀入網格 clear all; filename='mm1.txt'; %%節點坐標 [node_num]=textread(filename,'%n',1);%節點個數 n_coor=zeros(node_num,2);%節點坐標 m=1; [n1,n2]=textread(filename,'%n%n','headerlines',1); n_coor(:,1)=n1(1:node_num); n_coor_x=n1(1:node_num); n_coor_y=n2(1:node_num); n_coor(:,2)=n2(1:node_num); %%邊界點 bou_num=n1(node_num+1); boundary=zeros(bou_num,2); a1=node_num+2; a2=a1+bou_num-1; boundary(:,1)=n1(a1:a2); boundary(:,2)=n2(a1:a2); %%單元索引 ele_num=n1(node_num+2+bou_num);%單元個數 ele_index=zeros(ele_num,3);%單元索引 a3=node_num+5+bou_num; [ele_index(:,1),ele_index(:,2),ele_index(:,3)]=textread(filename,'%n%n%n','headerlines',a3); %%計算單個矩陣 K=sparse(node_num,node_num); F=sparse(node_num,1); for i=1:ele_num ke=caculate1(i,ele_index,n_coor); f=caculate2(i,ele_index,n_coor); q1=ele_index(i,1)+1; q2=ele_index(i,2)+1; q3=ele_index(i,3)+1; q=zeros(1,3); q(1)=q1; q(2)=q2; q(3)=q3; K(q,q)=K(q,q)+ke; F(q,1)=F(q,1)+f; end %施加邊界條件 b=zeros(node_num,1); u_b=0; K(1,1)=1; for i=1:bou_num w1=boundary(i,1)+1; w2=boundary(i,2)+1; if(b(w1)==0) F(w1,1)=u_b; K(w1,:)=0; K(:,w1)=0; K(w1,w1)=1.0; b(w1)=1; end if(b(w2)==0) F(w2,1)=u_b; K(w2,:)=0; K(:,w2)=0; K(w2,w2)=1; b(w2)=1; end end u=K\F; subplot(1,2,1); plot3(n_coor_x,n_coor_y,u); %scatter3(n_coor(:,1),n_coor(:,2),u); L =1; nsamp = 1001; xsamp = linspace(0,L,nsamp);%100等分區間中間有100個數 [X,Y] = meshgrid(xsamp,xsamp); uexact = sin(pi*X).*sin(pi*Y); uexact_re = reshape(uexact,nsamp,nsamp); subplot(1,2,2); mmm=mesh(xsamp,xsamp,uexact_re);%%%%% function [k] = caculate1(i,ele_index,n_coor) %UNTITLED11 此處顯示有關此函數的摘要 % 此處顯示詳細說明 a1=ele_index(i,1)+1; a2=ele_index(i,2)+1; a3=ele_index(i,3)+1; x1=n_coor(a1,1); y1=n_coor(a1,2); x2=n_coor(a2,1); y2=n_coor(a2,2); x3=n_coor(a3,1); y3=n_coor(a3,2); A=0.5*((x2*y3-x3*y2)-(y3-y2)*x1+y1*(x3-x2)); A=abs(A); A=1/(2*A); J=(x3-x1)*(y2-y3)-(y3-y1)*(x2-x3); J1=A*[(y2-y3) (x3-x2);(y3-y1) (x1-x3)]; a11=J.*([1 0]*J1*(J1'*[1;0])).*0.5; a12=J.*([0 1]*J1*(J1'*[1;0])).*0.5; a13=J.*([-1 -1]*J1*(J1'*[1;0])).*(0.5); a22=J.*([0 1]*J1*(J1'*[0;1])).*0.5; a23=J.*([-1 -1]*J1*(J1'*[0;1])).*(0.5); a33=J.*(([-1 -1]*J1)*(J1'*[-1;-1]))*(0.5); k=[a11 a12 a13; a12 a22 a23;a13 a23 a33]; end function [f] = caculate2(i,ele_index,n_coor) %UNTITLED12 此處顯示有關此函數的摘要 % 此處顯示詳細說明 a1=ele_index(i,1)+1; a2=ele_index(i,2)+1; a3=ele_index(i,3)+1; x1=n_coor(a1,1); y1=n_coor(a1,2); x2=n_coor(a2,1); y2=n_coor(a2,2); x3=n_coor(a3,1); y3=n_coor(a3,2); J=(x3-x1)*(y2-y3)-(y3-y1)*(x2-x3); f1=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*lam1.*J; f2=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*lam2.*J; f3=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*(1-lam1-lam2).*J; lam=@(lam1) 1-lam1; g1=integral2(f1,0,1,0,lam); g2=integral2(f2,0,1,0,lam); g3=integral2(f3,0,1,0,lam); f=zeros(3,1); f(1)=g1; f(2)=g2; f(3)=g3; end function bx = fun(x,y) bx = (2*pi^2)*sin(pi*x).*sin(pi*y); end - 真解和所求解對比圖
- If you have any questions, feel free to contact me or write your problems in the comment region.
MATLAB有限元二維編程（三角單元）
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