反直覺的一個游戲 - 三門問題 （Monty Hall problem）

三門問題，也叫蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）

以電視節目 - Let's make a deal的主持人蒙提霍命名的一個反直覺問題。

游戲簡介

假設有3個門。 其中一個后面藏着寶藏，其余2個都是空門(美國節目中1個后面有汽車，其余的2個是山羊）。 

游戲開始：

首先你先選擇一張門，

選好后，主持人幫你在其余2扇沒有被選擇的門中打開一扇沒獎的門。

 

這時候你有一個選擇權， 換門還是不換門？

直覺上換不換幾率都是50%，那到底幾率是多少？ 換是不是得獎的機會大一些？

可以用代碼來模擬一遍。python

編程就是一步一步來，當然有時候要想清楚直接到達想要到的地方。

第一遍我們就用一步步來的方法走一遍吧。 （代碼一部分借鑒了哈佛的CS109）

首先我們先定義下 有3扇門，其中獎品在某一扇門中。 

 

首先安裝下 numpy庫

1.這個可以用 random.randint來實現。 randint(start, end, size） 隨機選擇的3個門中間的一個

def simulate_prizedoor(nsim):
    return np.random.randint(0, 3, (nsim))

2.然后我們可以定義下，一開始選擇的一扇門。 這里可以用固定選擇法，也可以用隨機法，數據大的情況下差別不大。這里我們直接用了固定選擇第一扇門（0）

def simulate_guess(nsim):
    return np.zeros(nsim, dtype=np.int)

3.然后我們 模擬主持人，開一扇沒有獎品的門。

def goat_door(prizedoors, guesses):
    result = np.random.randint(0, 3, prizedoors.size)
    while True:
        bad = (result == prizedoors) | (result == guesses)
        if not bad.any():
            return result
        result[bad] = np.random.randint(0, 3, bad.sum())

這里要實現的邏輯是， 先生成一個0到2的隨機數。 然后匹配直到 不等於 我們一開始的選擇的那扇門 或 寶藏存在的那扇門。 

 

4.然后模擬，我們假如我們在主持人打開門之后， 選擇換一張門。

def switch_guess(guesses, goatdoors):
    result = np.random.randint(0, 3, guesses.size)
    while True:
        bad = (result == guesses) | (result == goatdoors)
        if not bad.any():
            return result
        result[bad] = np.random.randint(0, 3, bad.sum())

看得出來實現的代碼和上面是一樣的。 我們換的這扇門，不能是原來那扇，而且也不能是開了的那扇。

5.計算勝率。

def win_percentage(guesses, prizedoors):
    return 100 * (guesses == prizedoors).mean()

這里需要注意， 如果單純的bool type的數據是沒有mean這個函數的。 np 把真假轉換成了1，0這樣才可以計算平均數。mean = 總值/數組的總數

 

6.最后我們就可以測試下，換和不換的區別了。 因為大數定律，我們測試100000遍

pd = simulate_prizedoor(nsim)
guess = simulate_guess(nsim)
goats = goat_door(pd, guess)
guess = switch_guess(guess, goats)

nsim = 100000

print "Win percentage when keeping original door"
print win_percentage(simulate_prizedoor(nsim), simulate_guess(nsim))

print "Win percentage when switching doors"
print win_percentage(pd, guess).mean()

Win percentage when keeping original door
33.32
Win percentage when switching doors
66.69

測試結果， 勝率方面 換能提高1倍的勝率。 （2個數相加超過100是因為小數點后的換算原因。）

測試完如果有點不能接受，我們換種方式

 

————————————————————————————一百遍的分割線——————————————————————————————————————

 

一切都不變的情況下，假如說有100扇門，你先選一扇，主持人幫你開98扇， 這時候也只剩下了2扇門。 你是換呢，還是不換。

這個代碼實現就有點小區別了。 因為大家熟悉了之前的實現方法， 我就換了一種實現方法。

1. 定義100扇門中有1個寶箱，這個做太多改變， 再定義我們隨機選擇了一扇門（之前是固定）

start = 0
end = 100
def simulate_prizedoor(nsim):
    return np.random.randint(start, end, (nsim))
5
def simulate_guess(nsim):
    return np.random.randint(start, end, (nsim))

2. 這里我們的主持人要關98扇門，真正要實現這個這個模擬，需要各種循環和條件。 其實根本沒必要那么麻煩， 實現一個程序或者過程只要目的達到了就OK，不管是不是一模一樣的模擬了一遍。  編程就是要跳出盒子，什么事都在盒子里面，永遠無法做到效率的解決問題。

實現邏輯： 這里面不管主持人開多少門， 最后只會留2扇門。 這2扇門只有2種可能性：以猜中沒猜中為邏輯

1. 我們猜中了， 所以我們猜的門 和 另外一扇隨機留下的門

2. 我們猜錯了，所以留下一扇我們猜的門，和一扇寶藏門。

實現這個代碼很簡單。

def guess_switch(guess_keep, pd): 
    alter = np.random.choice([x for x in range(start,end) if ((x != guess_keep)&(x != pd)).any()])
    num = np.where(guess_keep == pd,alter,pd)
    return num

 

3. 勝率計算

def win_percentage(guesses, prizedoors):
    return 100*(guesses == prizedoors).mean()

nsim = 10000

pd = simulate_prizedoor(nsim)
guess_keep = simulate_guess(nsim)
guess_sh = guess_switch(guess_keep, pd)

#keep guesses
print "Win percentage when keeping original door"
print win_percentage(pd, guess_keep)

#switch
print "Win percentage when switching doors"
print win_percentage(pd, guess_sh)

Win percentage when keeping original door
1.04
Win percentage when switching doors
98.96

數據勝於雄辯。  

PS：本人代碼水平有限， 請大家多多指正。 另外一個問題， 有沒有可能實現所有的if都用np.where來替代。  if和for真是效率太低了。