根據貝葉斯公式求解三門問題

本問題用到的公式

條件概率公式和乘法公式：

\[P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)} \]

\(\Rightarrow\)

\[P(AB) = P(B)P(AB) \]

\[P(AB) = P(A)P(B|A) \]

全概率公式：

設 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是對 \(\Omega\) 的一個划分：

\[(1) \ A_iA_j = \varnothing, i \neq j \ (2) \ \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}A_i = \Omega \]

則對任何事件B有

\[P(B) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i)P(B|A_i) \]

貝葉斯公式（Bayes）：

設 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是對 \(\Omega\) 的一個划分，則

\[P(A_i|B) = \displaystyle\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}, \ i = 1, 2, ..., n \]

問題描述

1990年，美國《Parade展示》雜志“Ask Marilyn”專欄的主持人瑪莉蓮·莎凡收到了一名讀者的提問：假設你正在參加一個游戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇。其中一扇后面有一輛汽車，其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一扇門，假設是一號門，然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門,假設是三號門。他然后問你: “你想選擇二號嗎？

問題解答

這個問題根據貝葉斯公式得出的解法是相同的，但是表述會有不同，下面列舉兩個表述（我個人認為第二種表述更容易理解一些）：

表述一

設 $A_i = $ {第 i 號門后是汽車}，i = 1，2，3；

$B_j = $ {選擇第 j 號門}，j = 1，2，3

$C = $ {主持人不知道哪個門是汽車，打開了 3 號門是山羊}，

\[P(A_1 | B_1C) = ? \ P(A_2 | B_1C) = ? \]

\[P(B_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1)P(C|A_iB_1) = P(A_1B_1)P(C|A_1B_1) + P(A_2B_1)P(C|A_2B_1) + P(A_3B_1)P(C|A_3B_1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} (\frac{1}{2} + 1 + 0) = \frac{1}{6} \]

\[P(A_1|B_1C) = \frac{P(A_1B_1)P(C|A_1B_1)}{P(B_1C)} = \frac{\frac{1}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} \ P(A2|B_1C) = \frac{\frac{1}{9} \times 1}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \]

表述二

分析：

1. 因為假定玩家選擇的是 1 號門，所以，如果 1 號門后是汽車，則主持人會隨機打開 2、3 號門，打開的概率都是 \(\frac{1}{2}\);
2. 如果 1 號門后面不是汽車，則主持人一定會打開 2 號門或 3 號門中的一扇，概率分別為 0 和 1.

解：

設事件 \(A_i(i = 1, 2, 3)\) 為“第 i 扇門后有汽車”，事件 B 為“主持人打開 3 號門”，則：

\[P(A_1) = \frac{1}{3} \ P(A_2) = \frac{1}{3} \ P(A_3) = \frac{1}{3} \]

易得：第 i 扇門后有汽車主持人打開 3 號門的概率 \(P(B|A_i)\):

• 第1扇門后有汽車，主持人打開3號門的概率為 \(P(B|A_1) = \frac{1}{2}\)
• 第2扇門后有汽車，主持人打開3號門的概率為 \(P(B|A_2) = 1\)
• 第3扇門后有汽車，主持人打開3號門的概率為 \(P(B|A_3) = 0\)

所以 \(P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = \frac{1}{2}\),

最終想要求的結果：主持人打開 3 號門之后 第 i 號門后有汽車的概率 \(P(A_i|B)\)

\[P(A_1|B) = \displaystyle\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \]

\[P(A_2|B) = \displaystyle\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \]

由此可知，玩家應該換一扇門。

注：我的迷惑點是為什么主持人打開 3 號門這樣的事情也要算概率呀，還有，為什么就可以直接假設主持人選擇了 3 號門呀，這樣真的沒有問題嗎，我不確定，對，之前是不確定，可是在困惑了幾乎今天整整一天時，我仿佛頓悟了，選門是一定要選的，而且我現在是按照第二種描述來理解的，所以關於選門這件事情是一定要搞清楚的，選門對我來說就是這個問題的症結所在 ，所謂條件概率，就是要算出作為條件的那個概率嘛。至於為什么想通了，是因為注意到了之前的條件，就是假定玩家選擇了1號門這件事情是可以理解的，然后主持人肯定是要另外再開一扇門的嘛，那就從剩下的兩扇門中選一扇好了，選是一定要選的，在選的時候，你無論選兩扇門中的哪一扇最后算出來的 \(P(B)\) 都是相同的，這就解釋了為什么我們可以假定主持人選擇了3號門，因為這也是概率事件，至於主持人選擇的門一定是有山羊的門，那就是附帶的必然條件了。然后最后求解后驗概率當然就是要利用條件概率來球了。其實到這里我還是理解得不是很透徹，不過，先到這里吧，總之考試時候遇上了是肯定不虛的，至於透徹理解什么的，以后遇到的時候說不定再想想就會更加深刻吧。

參考：文章鏈接