貝葉斯公式是怎么來的？
我們還是使用 wikipedia 上的一個例子：
一所學校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生總是穿長褲，女生則一半穿長褲一半穿裙子。有了這些信息之后我們可以容易地計算“隨機選取一個學生，他（她）穿長褲的概率和穿裙子的概率是多大”，這個就是前面說的“正向概率”的計算。然而，假設你走在校園中，迎面走來一個穿長褲的學生（很不幸的是你高度近似，你只看得見他（她）穿的是否長褲，而無法確定他（她）的性別），你能夠推斷出他（她）是男生的概率是多大嗎？
一些認知科學的研究表明（《決策與判斷》以及《Rationality for Mortals》第12章：小孩也可以解決貝葉斯問題），我們對形式化的貝葉斯問題不擅長，但對於以頻率形式呈現的等價問題卻很擅長。在這里，我們不妨把問題重新敘述成：你在校園里面隨機游走，遇到了 N 個穿長褲的人（仍然假設你無法直接觀察到他們的性別），問這 N 個人里面有多少個女生多少個男生。
你說，這還不簡單：算出學校里面有多少穿長褲的，然后在這些人里面再算出有多少女生，不就行了？
我們來算一算：假設學校里面人的總數是 U 個。60% 的男生都穿長褲，於是我們得到了 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) 個穿長褲的（男生）（其中 P(Boy) 是男生的概率 = 60%，這里可以簡單的理解為男生的比例；P(Pants|Boy) 是條件概率，即在 Boy 這個條件下穿長褲的概率是多大，這里是 100% ，因為所有男生都穿長褲）。40% 的女生里面又有一半（50%）是穿長褲的，於是我們又得到了 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 個穿長褲的（女生）。加起來一共是 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 個穿長褲的，其中有 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 個女生。兩者一比就是你要求的答案。
下面我們把這個答案形式化一下：我們要求的是 P(Girl|Pants) （穿長褲的人里面有多少女生），我們計算的結果是 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) / [U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl)] 。容易發現這里校園內人的總數是無關的，可以消去。於是得到
注意，如果把上式收縮起來，分母其實就是 P(Pants) ，分子其實就是 P(Pants, Girl) 。而這個比例很自然地就讀作：在穿長褲的人（ P(Pants) ）里面有多少（穿長褲）的女孩（ P(Pants, Girl) ）。
上式中的 Pants 和 Boy/Girl 可以指代一切東西，所以其一般形式就是：
P(B|A) = P(A|B) * P(B) / [P(A|B) * P(B) + P(A|~B) * P(~B) ]
收縮起來就是：
P(B|A) = P(AB) / P(A)
其實這個就等於：
P(B|A) * P(A) = P(AB)
難怪拉普拉斯說概率論只是把常識用數學公式表達了出來。
詳見：http://mindhacks.cn/2008/09/21/the-magical-bayesian-method/