三門問題又被稱為蒙提霍爾問題，是一個很反直覺的問題，出自美國的一個電視游戲節目。
題目非常簡單：參賽者面前有三扇門，其中一扇門后面有一輛小汽車，另外兩扇門后面都是山羊，如果參賽者選中有汽車的那扇門，就可以把汽車開回家。
當參賽者選擇了其中一扇門后，此時主持人打開剩余兩扇門其中的一扇，里面是一只山羊，那么現在主持人給參賽者一次重新選擇的機會，參賽者應不應該換門去選擇另外一扇門？
我初次看這個問題時覺得當主持人打開一扇門后，那么小汽車在剩余兩個門內的概率必然都是 50%，那么換不換門其實意義不大，因為概率都一樣，但真的是這樣嗎？
正確答案卻是非常反直覺的，如果參賽者堅持原來的選擇，那么選中小汽車的概率為 1/3，如果換門的話，選中小汽車的概率為 2/3。
直觀分析
首先我們要明確一點，主持人是知道小汽車在哪個門后面的，這個是解題的前提，否則下面的分析毫無意義。
下面我們來分析一下：當參賽者第一次選擇時，任何一扇門有小汽車的概率都是 1/3，所以參賽者所選門后面有小汽車的概率是 1/3，參賽者未選擇的兩扇門后面有小汽車的概率為 2/3。
當主持人打開剩余兩扇門其中的一扇有山羊的門，那 2/3 的概率就轉移到了剩余兩扇門中未被打開的那扇門中，而此刻參賽者最初選擇的門仍然只有 1/3 的概率選中小汽車，所以說此時換門是最佳的選擇。
圖示法
如果上述直觀的分析過程不太好理解的話，那么我們通過畫圖的方式，可以很直觀的看到每種選擇的概率。
假設三個門分別為A，B，C，參賽者選擇了A門，如圖所示
可以很很清楚的看到
如果不換門，選中的概率為 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 + 0 + 0 = 1/3
如果換門，選中的概率為 0 + 0 + 1/3 * 1+ 1/3 * 1 = 2/3
極端假設
如果此時你還是不理解的話，我們可以做個極端的假設。
假如有一萬扇門，9999 扇門背后都是羊，只有一扇門背后是小汽車。在你選擇了一扇門后，此時主持人打開剩余的 9999 扇門中的 9998 扇門，並且背后都是羊，那么此時讓你重新選擇，你換不換門，我相信此時大多數人哪怕憑直覺也會覺得，換門后選中小汽車的概率更大。
排除法
還有個思路，你可以理解三個答案中只有一個是正確答案，你隨機選擇了一個，然后主持人在剩余的兩個答案中排除掉了錯誤的一個，這個時候給你一次重新選擇的機會你確定不換嗎？
用數據說話
實踐是檢驗真理的唯一標准，我寫了個簡單的程序，對這個游戲模擬了 100 萬次。
import random
# 模擬測試的次數
simulationCount = 1000000
# 第一次選中小汽車的次數
firstSelectedSuccessSum = 0
# 第二次重新選擇選中小汽車的次數
secondSelectedSuccessSum = 0
for num in range(simulationCount):
# 初始化所有門
doors = list(range(1,4))
# 隨機生成小汽車的門位置
carDoor = random.randint(1,3)
# 參賽者隨機選中一個
firstSelectedDoor = random.randint(1,3)
# 主持人在剩下的兩個里面隨機選擇一個
doors.remove(firstSelectedDoor)
presenterSelectedDoor = doors[random.randint(0,1)]
# 主持人選擇后剩下的一個門，也就是選手第二次選擇的門
doors.remove(presenterSelectedDoor)
secondSelectedDoor = doors[0]
# 因為主持人不能選擇有小汽車的門
# 所以如果上面主持人隨機選擇的是有小汽車的門，則應該重新選擇另一個門
if carDoor == presenterSelectedDoor:
secondSelectedDoor = presenterSelectedDoor
# 如果第一次選中有小汽車的門，累計計數
if carDoor == firstSelectedDoor:
firstSelectedSuccessSum = firstSelectedSuccessSum + 1
# 如果第二次重新選擇選中有小汽車的門，累計計數
elif carDoor == secondSelectedDoor:
secondSelectedSuccessSum = secondSelectedSuccessSum + 1
# 輸出測試結果
print ('模擬測試 %s 次'%simulationCount)
print ('不換門選中小汽車的次數為 {} 次，概率為：{:.2%}'.format(firstSelectedSuccessSum, firstSelectedSuccessSum/simulationCount))
print ('換門后選中小汽車的次數為 {} 次，概率為：{:.2%}'.format(secondSelectedSuccessSum, secondSelectedSuccessSum/simulationCount))
執行結果為
模擬測試 1000000 次
不換門選中小汽車的次數為 333398 次，概率為：33.34%
換門后選中小汽車的次數為 666602 次，概率為：66.66%
結果顯而易見，和上述分析的結果一樣，堅持最初的選擇，選中小汽車概率 1/3，換門后選中小汽車概率 2/3。
如果主持人是隨機選的門呢
上面已經說過，主持人是知道小汽車在哪個門后面的，所以主持人可以保證自己打開的一定是后面有山羊的門。
那么肯定有人會問，如果主持人不知道小汽車在哪個門后面，隨便選了一個，並且恰好選擇了有羊的門，那么此時參賽者換門和不換門選中小汽車的概率各有多大？
這種情況就要分兩個維度來看了
維度一：如果從主持人已經打開了一扇有羊的門這個既定事件往后看，那么此時換門和不換門選中小汽車的概率均為 50%。
維度二：如果從主持人打開門之前開始往后看，那么換門和不換門選中小汽車的概率均為 1/3，因為還有三分之一的概率是主持人打開了有小汽車的門，在這種情況下，游戲直接結束了。
總結
三門問題看似有點違背常理，但只要經過認真思考后，其實也不難理解。
因為最后參賽者重新選門的事件是受前面主持人開門事件所影響的，正是因為主持人是知道小汽車在哪個門后面的，所以主持人在打開門的時候，會刻意避開有小汽車的門，也就造成了后面換門和不換門選擇小汽車的概率不均等。明白了這一點，我相信你對換門后選中小汽車的概率為 2/3 也就不會有異議了。