趣味編程：三門問題

三門問題，也稱為蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）。

你在參加一個節目，面前是三扇關閉着的門。其中一扇后面是小汽車，選中它就可贏得汽車，另外兩扇后面各是一只羊。你選擇了其中一扇，但沒有打開它，這時主持人打開了剩下兩扇門中的一扇，后面是一只山羊（這里有個隱含前提：主持人是知道門后的情況的）。主持人問你，要不要換另一扇仍然關閉着的門，還是就要你剛才選中的那扇。

那么問題就是，換另一扇門會增加你贏得汽車的概率么？換與不換的概率各是多少呢？

因為只剩下了兩扇門，其中有一車和一羊，因此答案是換不換概率都是1/2，對么？

也有人堅信不換的概率是1/3，那么換的概率就應該是2/3？無論哪種回答，一定都會有自己的解釋和邏輯。

 

什么是概率？無非就是某種事件發生的可能性。

如何驗證概率？只有用大量的實驗來統計各種事件發生的分布情況。

放到現實中，想看到這個問題的答案，只能由主持人和觀眾不斷的重復進行游戲。

看看比如說各自100次游戲，不換門會選中多少次，換門又會選中多少次。

 

這就體現出了代碼的優勢，無需舞台無需觀眾無需主持人，也無需一遍又一遍的重復。

讓我們直接拋開語義和邏輯上的爭論，讓事實來說話。

 

完全忠實於游戲的規則來實現：

import random
import logging

class MontyHall(object):
    def __init__(self, num=3):
        '''
        創建一個door列表
        0表示門關閉的狀態
        1表示該門后有車
        -1表示該門被主持人打開
        '''
        self.doors = [0] * num
        self.doors[0] = 1
        self.choice = -1
        self.shuffle()

    def shuffle(self):
        '''
        開始新的游戲
        關閉所有打開的門（-1）
        重新安排轎車的位置
        '''
        for i in range(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == -1:
                self.doors[i] = 0
        random.shuffle(self.doors)

    def makeChoice(self):
        '''
        player隨機選擇一扇門
        '''
        self.choice = random.randint(0, len(self.doors)-1)
        logging.info('choice: %d' % self.choice)
        logging.info('original: %s' % self.doors)

    def excludeChoice(self):
        '''
        主持人排除選擇
        直到只剩兩扇門
        '''
        toBeExcluded = []
        for i in range(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == 0 and i != self.choice:
                toBeExcluded.append(i)

        random.shuffle(toBeExcluded)
        for i in range(len(self.doors)-2):
            self.doors[toBeExcluded[i]] = -1
        logging.info('final: %s' % self.doors)

    def changeChoice(self):
        '''
        player改變選擇
        '''
        toChange = []
        for i in range(len(self.doors)):
            if i != self.choice and self.doors[i] != -1:
                toChange.append(i)
        self.choice = random.choice(toChange)                
        logging.info('choice changed: %d' % self.choice)

    def showAnswer(self):
        logging.info(self.doors)

    def checkResult(self):
        gotIt = False
        if self.doors[self.choice] == 1:
            gotIt = True
        return gotIt

 

不改變選擇：

def test(n):
    result = {}
    game = MontyHall()

    for i in range(n):
        game.shuffle()
        game.makeChoice()
        game.excludeChoice()

        if game.checkResult():
            result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
        else:
            result['no'] = result.get('no', 0) + 1

    for key in result:
        print('%s: %d' % (key, result[key]))
    


if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    test(10000)

yes: 3304
no: 6696

 

改變選擇：

def test(n):
    result = {}
    game = MontyHall(3)

    for i in range(n):
        game.shuffle()
        game.makeChoice()
        game.excludeChoice()
        # 改變選擇
        game.changeChoice()

        if game.checkResult():
            result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
        else:
            result['no'] = result.get('no', 0) + 1

    for key in result:
        print('%s: %d' % (key, result[key]))
    


if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    test(10000)

yes: 6691
no: 3309

 

可見，如果不改變，選中的概率是1/3。如果改變，選中概率為2/3。所以說，最佳策略是換門。

 

從邏輯上如何解釋呢？

如果你每次都換，只有當你第一次選的那扇門后是汽車時，你才會輸。

因為第一次選中汽車的概率是1/3，所以換門后輸的概率是1/3。

也就是說，如果你每次都換，贏的概率就有2/3。

 

還不信么？

那我們換成50扇門再做這個游戲。你選一扇門，我把其他是羊的48扇門打開給你，最后依然剩下兩扇門，你還會覺得換和不換的概率一樣是1/2么？

依然覺得在50扇門中任選一個，最后中將的概率是1/2？

 

 

原理是一樣的，只有你第一次就選中汽車時（1/50概率），換門才會失去大獎。其他的情況，換門都會讓你贏得大獎，概率為49/50。

再次用代碼來驗證：

def test(n):
    result = {}
    game = MontyHall(50)

    for i in range(n):
        game.shuffle()
        game.makeChoice()
        game.excludeChoice()
        game.changeChoice()

        if game.checkResult():
            result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
        else:
            result['no'] = result.get('no', 0) + 1

    for key in result:
        print('%s: %d' % (key, result[key]))
    


if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    test(10000)

yes: 9794
no: 206

 

依然不相信？

邏輯分析和事實數據都不能讓你相信？還是認為最后的概率都是1/2？

那我只好遺憾的表示，三門問題的答案是確定的，不存在任何爭議。

自己去科普一下吧，不要困在自己的局限的認知里。

 

附上一個科普節目，讓大名鼎鼎的流言終結者（S09E21）來掃盲吧。

 

如果邏輯分析+實驗事實+科普節目都無法讓你放棄1/2的結論，那我真無能為力了：）