【博弈論】關於蒙蒂霍爾問題（三門問題）的討論

洛谷期中考試的第三題，思維型非常強，其來源就是美國的三門問題，又稱：蒙蒂霍爾問題或山車問題。

三門問題的原型是這樣的：

「假設你正在參加一個游戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：
其中一扇后面有一輛車；其余兩扇后面則是山羊。
你選擇了一道門，假設是一號門，然后知道門后面有什么的主持人，
開啟了另一扇后面有山羊的門，假設是三號門。
他然后問你：“你想選擇二號門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？」

如果是按照人的【直覺】的話，肯定是每個門有車的概率都是1/3啊，所以換不換都一樣。

沒錯，我一開始也是這么想的，但是如果是這樣，那為什么還要把這種題放到NOIP的提高組里。實際上，上面的那種【直覺】是錯誤的，完全錯誤的！

再推了一大張打草紙后，發現對於這個問題，每次當主持人告訴你其中的一個錯誤選項后，你做出的覺得必須要換，換對你來說是一種優勢。

我們可以這么開看待這個問題：

1.當前選擇的那個門，有汽車的概率是33%，另外兩個門有汽車的概率是66%。 【到這里沒問題吧，神奇的在下面】

2.主持人告訴你另外兩個門中有一個門沒有汽車，那那個門就可以扔掉了，那剩下的那個門，擁有汽車的概率就66%。【是不是？是不是這樣看，轉換是有優勢的！】

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接下來，對於該問題進行推廣，推廣到OI中：

題目描述

Bob 正在考試，他遇到了一個奇怪的選擇題：這個選擇題共有 n個選項，其中只有一個選項是正確的。他完全不會做這題，所以只能靠蒙。

蒙這道題分為 n−2n輪，在第 1 輪開始之前，Bob 會在這 n 個選項中隨機蒙一項，之后的每輪流程如下：首先，Alice 會過來幫他排除一個選項，由於 Alice 事先知道答案，所以她會在現有的除正確的那一項和 Bob 正在選的那一項外的選項里，隨機刪去一個。之后，Bob 可以選擇是否更換自己蒙的選項，如果更換，則隨機更換到除正在選的那一項之外的任意一項。

Bob 在這 n−2n  輪中，由於和 Alice 達成的神秘協定，需要恰好更換 kkk 次選項。他想知道，如何更換，使得自己蒙對的概率最大，輸出這個概率。為了方便，你需要輸出這個概率的分數形式在模 109+710^9 + 7 意義下的結果。

前k-1次更換選項，最后1次更換選項的機會要留到最后。可以推出遞歸式，然后解答即可。

代碼實現：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int fexp(int a, int b) {
  int res = 1;
  for(int i = 1; i <= b; i <<= 1) {
    if(i & b) res = 1LL * res * a % MOD;
    a = 1LL * a * a % MOD;
  }
  return res;
}

int inv(int x) {
  return fexp(x, MOD - 2);
}

int f[MAXN], g[MAXN];
int main() {
  int n, k;
  scanf("%d %d", &n, &k);
  if(k == 0) {
    printf("%lld\n", 1LL * inv(n) % MOD);
  } else if(k == 1) {
    printf("%lld\n", 1LL * (n - 1) * inv(n) % MOD);
  } else {
    puts("GG");
  }
  return 0;
}