石子合並（四邊形不等式優化）

題目大意很簡單，和普通的石子合並過程沒有區別，只是花費變成了一個多項式，若連續的任意個石子權值和為x，那么代價變為F(x) = sigma(a[i] * x^i)，求將n堆石子合並為一隊的最小花費。

對於暴力的做法，復雜度是O(n^3)的，所以要優化

我們知道當a, b, c, d(a <= b < c <= d)當有cost[a][c] + cost[b][d] <= cost[a][d] + cost[b][c] 時，我們稱其滿足四邊形不等式，設p[i][j]表示當區間[i, j]取最優決策時所選擇的下標，這時可以證明有p[i][j - 1] <= p[i][j] <= p[i + 1][j]（花了我好長時間終於證明了），沒事了可以證明下看看，也可以記住這個結論。

這時當按區間dp時，計算區間[i, j]的最優解，只要枚舉[p[i][j - 1], p[i + 1][j]]即可，由於數組p取值為[1, n]且是單調的，所以枚舉的總復雜度為O(n)，最后加上區間枚舉的復雜度，總復雜度為O(n^2)

所以對於一般性的題目，需要證明的只有dp量是不是滿足四邊形不等式的，對於這道題就是要證明:

設sum(a, b) = x, sum(b, c) = z, sum(c, d) = y;

有 F(x + z) + F(y + z) <= F(z) + F(x + y + z),即證明:

sigma(a[i] * ( (x + z)^i + (y + z)^i - z^i - (x+y+z)^i )) <= 0,轉化為證明：

(x + z) ^ n  +  (y + z) ^ n  -  z ^ n  -  (x + y + z) ^ n <= 0恆成立。

很明顯這個不等式可以利用數學歸納法加以簡單的證明。

 

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#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf (-((LL)1<<40))
#define lson k<<1, L, (L + R)>>1
#define rson k<<1|1,  ((L + R)>>1) + 1, R
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define FIN freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOUT freopen("out.txt", "w", stdout)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)

template<class T> T CMP_MIN(T a, T b) { return a < b; }
template<class T> T CMP_MAX(T a, T b) { return a > b; }
template<class T> T MAX(T a, T b) { return a > b ? a : b; }
template<class T> T MIN(T a, T b) { return a < b ? a : b; }
template<class T> T GCD(T a, T b) { return b ? GCD(b, a%b) : a; }
template<class T> T LCM(T a, T b) { return a / GCD(a,b) * b;    }

//typedef __int64 LL;
typedef long long LL;
const int MAXN = 51000;
const int MAXM = 110000;
const double eps = 1e-4;
//LL MOD = 987654321;

int T, n, m, s[1100], a[10];
LL p[1100][1100], dp[1100][1100];

LL fun(int x) {
    LL ans = 0, p = 1;
    rep (i, 0, m) {
        ans += a[i] * p;
        p *= x;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //FIN;
    while(~scanf("%d", &T)) while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        rep (i, 1, n) scanf("%d", s + i), s[i] += s[i - 1];
        scanf("%d", &m);
        rep (i, 0, m) scanf("%d", a + i);
        mem0(dp); mem0(p);
        rep (len, 1, n) {
            rep (i, 1, n - len + 1) {
                int j = i + len - 1;
                LL cost = fun(s[j] - s[i - 1]);
                if(len <= 1) { dp[i][j] = 0; p[i][j] = i; }
                else rep (k, p[i][j - 1], p[i + 1][j]) {
                    if(dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost < dp[i][j] || dp[i][j] == 0) {
                        p[i][j] = k;
                        dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost;
                    }
                }
            }
        }
        cout << dp[1][n] << endl;
    }
    return 0;
}