[筆記] 四邊形不等式

 

形如f[i][j]=opt{f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j)}的轉移方程，有可能使用四邊形不等式優化轉移。

這是區間DP枚舉斷點轉移的形式之一，本身要枚舉三層：長度，左端點，斷點，復雜度O(n^3)

借助四邊形不等式，可以把內層枚舉斷點做到均攤O(1)，從而實現O(n^2)的轉移。

 

具體要求，設a<b<=c<d，如果轉移代價w滿足w(a,d)+w(b,c)<=w(a,c)+w(b,d)，那么可以使用四邊形不等式優化轉移。

記tran[i][j]數組，代表轉移到[i,j]區間時所對應的轉移點（斷點），那么內層循環可以寫成

for(int k=tran[i][j-1];k<=tran[i+1][j];k++)

我們以長度為階段進行轉移，所以長度為len-1的tran數組已經計算過了

 

難點在於發現這一特殊的單調性，雖然優化效果非常明顯，但是使用范圍比較窄。

四邊形不等式成立，當且僅當w(i,j)+w(i+1,j+1)<=w(i,j+1)+w(i+1,j)

例：石子合並中關於min的轉移優化：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int MAXN=256;

inline int rd(){
  int ret=0,f=1;char c;
  while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
  while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
  return ret*f;
}

int n,sum[MAXN],val[MAXN];
int g[MAXN][MAXN],trg[MAXN][MAXN];

int main(){
  n=rd();
  memset(g,0x3f,sizeof(g));
  for(int i=1;i<=n;i++){
    g[i+n][i+n]=g[i][i]=0;
    val[i]=val[i+n]=rd();
  }
  for(int i=1;i<=2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+val[i];
  for(int i=1;i<=2*n;i++) trg[i][i]=i;
  for(int len=1;len<=n-1;len++){
    for(int i=1;i+len<=2*n;i++){
      int j=i+len;
      for(int k=trg[i][j-1];k<=trg[i+1][j];k++){
        if(g[i][k]+g[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<g[i][j]){
          g[i][j]=g[i][k]+g[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
          trg[i][j]=k;
        }
      }
    }
  }
  int mnans=1<<30;
  for(int i=1;i<=n;i++) mnans=min(mnans,g[i][i+n-1]);
  cout<<mnans;
  return 0;
}