經典算法學習之分治法(以排列、組合程序為例)

分治法的思想：將原問題分解為幾個規模較小但類似於原問題的子問題，遞歸的求解這些子問題，然后再合並這些子問題的解來建立原問題的解。

分治法在每層遞歸是遵循的三個步驟：

(1)分解原問題為若干個子問題，這些子問題是原問題的規模較小的實例。

(2)解決這些子問題，隊規的求解各個子問題，當子問題規模足夠小的時候，直接求解。

(3)合並這些子問題的解構成原問題的解。

顯然歸並排序是一個非常經典規矩的分治法的例子，鑒於之前已經寫過一篇關於歸並排序的博文，這里不在使用歸並排序作為例子。

注意分治法的每一層遞歸中的第一步分解，可能產生兩個子問題(如歸並排序、二分查找等)，也可能產生多個子問題(如排列、組合等)，產生兩個子問題的時候當然比較容易理解，而產生多個子問題的時候需要使用環循羅列這些子問題。

下面就以排列和組合算法為例，介紹產生多個子問題的分治算法。

一、排列

 問題：輸入一個字符串，打印出該字符串中字符的所有排列。

 分析：利用分治法的思想，

(1)先將原問題分解，假如輸入的字符串長度是n，那么第一次選擇可能是第一個字符、也可能是第二個、。。。也可能是第n個，但是不管是哪一個，只要選出第一個字符，就可以在剩下的n-1個字符里面繼續選擇一個了，所以需要將原問題分解為n個子問題(每個子問題為第一步選擇的是i，然后再對除了i之外的字符進行全排列)，到現在可以發現如果直接按照順序分解之后，對除了i之外的字符進行全排列，不是那么容易實現遞歸，於是想到將每個元素(包括第一個元素)都與第一個元素交換，然后分解成的子問題就是先將每個元素與第一個元素交換並選出，然后對第二個到最后的所有元素全排列。注意每次個子問題考慮完之后需要將交換的元素換回。

(2)利用遞歸解決每個子問題

(3)當所有問題都解決的時候，子問題的解組合起來就是原問題的解了

如：輸入字符串為abc ，排列函數為permutation()那么分解成的子問題為a+permutation(bc)、b+permutation(ac)、c+permutation(ab)

#include "stdafx.h"
#include<iostream>
using namespace std;
void print(char *str)
{
    char *p=str;
    while(*p)
    {
        cout<<*p<<' ';
        p++;
    }
}
void bianli(char *str,int begin,int length)
{
    char temp;
    int i;
    if(begin==length-1)
    {
        print(str);
        cout<<endl;
        return ;
    }
    //可以選取某一個值(包括begin自己)與begin的位置交換，然后對剩下的字符全排列
    //所以對於每一個位置要么選擇先交換，然后遞歸，要么選擇不交換（即交換兩次）
    for(i=begin;i<length;i++)
    {
        temp=str[begin];
        str[begin]=str[i];
        str[i]=temp;

        bianli(str,begin+1,length);

        temp=str[begin];
        str[begin]=str[i];
        str[i]=temp;
    }
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    char str[4]="123";
    bianli(str,0,3);
    return 0;
}

二、組合

問題：找出從自然數1、2、3。。。n中任取r個元素的所有組合

分析：

1、分解：與排列不同，組合里每個元素在一種只出現一次，所以並不需要交換元素，而是每次從n個數中按照某種順序取一個元素，然后考慮全面了即可，如每次取一個最大值，那么只要元素個數>k則是子問題的一種，剩下的思想和排列差不多。

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100];//用於存放組合的結果
void zuhe(int n,int k)
{
    for(int i=n;i>=k;i--)//順序選取組合中最大的數
    {
        a[k]=i;
        if(k>1)
        {
            zuhe(i-1,k-1);
        }
        else
        {
            for(int i=1;i<=a[0];i++)
            {
                cout<<a[i]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    a[0]=k;
    zuhe(n,k);
    return 0;
}