1、問題描述：
給定N個頂點的多邊形，每個頂點標有一個整數，每條邊上標有+(加)或是×(乘)號，並且N條邊按照順時針依次編號為1~N。下圖給出了一個N＝4個頂點的多邊形。
游戲規則 ：(1) 首先，移走一條邊。
(2) 然后進行下面的操作： 選中一條邊E，該邊有兩個相鄰的頂點，不妨稱為V1和V2。對V1和V2頂點所標的整數按照E上所標運算符號(+或是×)進行運算，得到一個整數；用該整數標注一個新頂點，該頂點代替V1和V2 。 持續進行此操作，直到最后沒有邊存在，即只剩下一個頂點。該頂點的整數稱為此次游戲的得分(Score)。
2、問題分析：
解決該問題可用動態規划中的最優子結構性質來解。
設所給的多邊形的頂點和邊的順時針序列為op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i條邊所對應的運算符，v[i]表示第i個頂點上的數值，i=1~n。
在所給的多邊形中，從頂點i（1<=i<=n）開始，長度為j（鏈中有j個頂點）的順時針鏈p(i,j）可表示為v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果這條鏈的最后一次合並運算在op[i+s]處發生（1<=s<=j-1），則可在op[i+s]處將鏈分割為兩個子鏈p(i,s)和p(i+s,j-s)。
設m[i,j,0]是鏈p(i,j)合並的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最優合並在op[i+s]處將p(i,j)分為兩個長度小於j的子鏈的最大值和最小值均已計算出。即：
a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i,s,0] d=m[i,s,1]
(1) 當op[i+s]=’+’時
m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d
(2) 當op[i+s]=’*’時
m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}
由於最優斷開位置s有1<=s<=j-1的j-1中情況。 初始邊界值為 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n
因為多變形式封閉的，在上面的計算中，當i+s>n時，頂點i+s實際編號為(i+s)modn。按上述遞推式計算出的m[i,n,1]記為游戲首次刪除第i條邊后得到的最大得分。
代碼如下：
1 //2015.5.2：——Anonymous 2 #include<string.h> 3 #include<stdio.h> 4 int v[101]; 5 int n; 6 char op[101]; 7 int minf,maxf; 8 int m[101][101][2]; 9 void minMax(int i,int s,int j) 10 { 11 int e[5]; 12 int a=m[i][s][0], 13 b=m[i][s][1], 14 r=(i+s-1)%n+1, 15 c=m[r][j-s][0], 16 d=m[r][j-s][1]; 17 if(op[r]=='t') 18 { 19 minf=a+c; 20 maxf=b+d; 21 } 22 else 23 { 24 e[1]=a*c; 25 e[2]=a*d; 26 e[3]=b*c; 27 e[4]=b*d; 28 minf=e[1]; 29 maxf=e[1]; 30 for(int k=2; k<5; k++) 31 { 32 if(minf>e[k]) 33 minf=e[k]; 34 if(maxf<e[k]) 35 maxf=e[k]; 36 } 37 } 38 } 39 int main() 40 { 41 memset(m,0,sizeof(m)); 42 scanf("%d",&n); 43 getchar(); 44 for(int i=1; i<=n; i++) 45 { 46 scanf("%c",&op[i]); 47 scanf("%d",&v[i]); 48 m[i][1][0]=v[i]; 49 m[i][1][1]=v[i]; 50 getchar(); 51 } 52 for(int j=2; j<=n; j++)//鏈的長度 53 for(int i=1; i<=n; i++)//刪掉第i條邊 54 for(int s=1; s<j; s++)//斷開的位置 55 { 56 minMax(i,s,j); 57 if(m[i][j][0]>minf) 58 m[i][j][0]=minf; 59 if(m[i][j][1]<maxf) 60 m[i][j][1]=maxf; 61 } 62 int temp=m[1][n][1]; 63 for(int i=2; i<=n; i++) 64 { 65 if(temp<m[i][n][1]) 66 temp=m[i][n][1]; 67 } 68 printf("%d\n",temp); 69 return 0; 70 }
測試數據：
輸入：
4 t -7 t 4 x 2 x 5 輸出：
33
計算復雜性分析：
與凸多邊形最有三角剖分問題類似，上述算法需要O（n3）計算時間。