點和多邊形關系的算法實現
好了，現在我們已經了解了矢量叉積的意義，以及判斷直線段是否有交點的算法，現在回過頭看看文章開始部分的討論的問題：如何判斷一個點是否在多邊形內部？ 根據射線法的描述，其核心是求解從P點發出的射線與多邊形的邊是否有交點。注意，這里說的是射線，而我們前面討論的都是線段，好像不適用吧？沒錯，確實是 不適用，但是我要介紹一種用計算機解決問題時常用的建模思想，應用了這種思想之后，我們前面討論的方法就適用了。什么思想呢？就是根據問題域的規模和性質 抽象和簡化模型的思想，這可不是故弄玄虛，說說具體的思路吧。
計算機是不能表示無窮大和無窮小，計算機處理的每一個數都有確定的值，而且必須有確定的值。我們面臨的問題域是整個實數空間的坐標系，在每個維度上都是 從負無窮到正無窮，比如射線，就是從坐標系中一個明確的點到無窮遠處的連線。這就有點為難計算機了，為此我們需要簡化問題的規模。假設問題中多邊形的每個 點的坐標都不會超過(-10000.0, +10000.0)區間（比如我們常見的圖形輸出設備都有大小的限制），我們就可以將問題域簡化為(-10000.0, +10000.0)區間內的一小塊區域，對於這塊區域來說，>= 10000.0就意味着無窮遠。你肯定已經明白了，數學模型經過簡化后，算法中提到的射線就可以理解為從模型邊界到內部點P之間的線段，前面討論的關於線 段的算法就可以使用了。
射線法的基本原理是判斷由P點發出的射線與多邊形的交點個數，交點個數是奇數表示P點在多邊形內（在多邊形的邊上也視為在多邊形內部的特殊情 況），正常情況下經過點P的射線應該如圖6（a）所示那樣，但是也可能碰到多種非正常情況，比如剛好經過多邊形一個定點的情況，如圖6 （b），這會被誤認為和兩條邊都有交點，還可能與某一條邊共線如圖6 （c）和（d），共線就有無窮多的交點，導致判斷規則失效。還要考慮凹多邊形的情況，如圖6（e）。
圖6 射線法可能遇到的各種交點情況
針對這些特殊情況，在對多邊形的每條邊進行判斷時，要考慮以下這些特殊情況，假設當前處理的邊是P1P2，則有以下原則：
1）如果點P在邊P1P2上，則直接判定點P在多邊形內；
2）如果從P發出的射線正好穿過P1或者P2，那么這個交點會被算作2次（因為在處理以P1或P2為端點的其它邊時可能已經計算過這個點了），對這種情況的處理原則是：如果P的y坐標與P1、P2中較小的y坐標相同，則忽略這個交點；
3）如果從P發出的射線與P1P2平行，則忽略這條邊；
對於第三個原則，需要判斷兩條直線是否平行，通常的方法是計算兩條直線的斜率，但是本算法因為只涉及到直線段（射線也被模型簡化為長線段了），就簡化了 很多，判斷直線是否水平，只要比較一下線段起始點的y坐標是否相等就行了，而判斷直線是否垂直，也只要比較一下線段起始點的x坐標是否相等就行了。
應用以上原則后，掃描線法判斷點是否在多邊形內的算法流程就完整了，圖7就是算法的流程圖：
最終掃描線法判斷點是否在多邊形內的算法實現如下：
228 bool IsPointInPolygon(const Polygon& py, const Point& pt)
229 {
230 assert(py.IsValid()); /*只考慮正常的多邊形，邊數>=3*/
231
232 int count = 0;
233 LineSeg ll = LineSeg(pt, Point(-INFINITE, pt.y)); /*射線L*/
234 for(int i = 0; i < py.GetPolyCount(); i++)
235 {
236 /*當前點和下一個點組成線段P1P2*/
237 LineSeg pp = LineSeg(py.pts[i], py.pts[(i + 1) % py.GetPolyCount()]);
238 if(IsPointOnLineSegment(pp, pt))
239 {
240 return true;
241 }
242
243 if(!pp.IsHorizontal())
244 {
245 if((IsSameFloatValue(pp.ps.y, pt.y)) && (pp.ps.y > pp.pe.y))
246 {
247 count++;
248 }
249 else if((IsSameFloatValue(pp.pe.y, pt.y)) && (pp.pe.y > pp.ps.y))
250 {
251 count++;
252 }
253 else
254 {
255 if(IsLineSegmentIntersect(pp, ll))
256 {
257 count++;
258 }
259 }
260 }
261 }
262
263 return ((count % 2) == 1);
264 }
在圖形學領域實施的真正工程代碼，通常還會增加一個多邊形的外包矩形快速判斷，對點根本就不在多邊形周圍的情況做快速排除， 提高算法效率。這又涉及到求多邊形外包矩形的算法，這個算法也很簡單，就是遍歷多邊形的所有節點，找出各個坐標方向上的最大最小值。以下就是求多邊形外包 矩形的算法：
266 void GetPolygonEnvelopRect(const Polygon& py, Rect& rc)
267 {
268 assert(py.IsValid()); /*只考慮正常的多邊形，邊數>=3*/
269
270 double minx = py.pts[0].x;
271 double maxx = py.pts[0].x;
272 double miny = py.pts[0].y;
273 double maxy = py.pts[0].y;
274 for(int i = 1; i < py.GetPolyCount(); i++)
275 {
276 if(py.pts[i].x < minx)
277 minx = py.pts[i].x;
278 if(py.pts[i].x > maxx)
279 maxx = py.pts[i].x;
280 if(py.pts[i].y < miny)
281 miny = py.pts[i].y;
282 if(py.pts[i].y > maxy)
283 maxy = py.pts[i].y;
284 }
285
286 rc = Rect(minx, miny, maxx, maxy);
287 }
除了掃描線法，還可以通過多邊形邊的法矢量方向、多邊形面積以及角度和等方法判斷點與多邊形的關系。但是這些算法要么只支持 凸多邊形，要么需要復雜的三角函數運算（多邊形邊數小於44時，可采用近似公式計算夾角和，避免三角函數運算），使用的范圍有限，只有掃描線法被廣泛應 用。
至此，本文的內容已經完結，以上通過對點與矩形、點與圓、點與直線以及點與多邊形位置關系判斷算法的講解，向大家展示了幾種常見的計算幾何算法實現，用簡短而易懂的代碼剖析了這些算法的實質。下一篇將介紹計算機圖形學中最基本的直線生成算法。
參考資料：
【1】計算幾何：算法設計與分析 周培德 清華大學出版社 2005年
【2】計算幾何：算法與應用 德貝爾赫（鄧俊輝譯） 清華大學出版社 2005年
【3】算法導論 Thomas H.Cormen等（潘金貴等譯） 機械工業出版社 2006年
【4】計算機圖形學 孫家廣、楊常貴 清華大學出版社 1995年