[LeetCode] 51. N-Queens N皇后問題

 

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

Example:

Input: 4
Output: [
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above.

 

經典的N皇后問題，基本所有的算法書中都會包含的問題。可能有些人對國際象棋不太熟悉，大家都知道中國象棋中最叼的是車，橫豎都能走，但是在國際象棋中還有更叼的，就是皇后，不但能橫豎走，還能走兩個斜線，有如 bug 一般的存在。所以經典的八皇后問題就應運而生了，在一個 8x8 大小的棋盤上如果才能放8個皇后，使得兩兩之間不能相遇，所謂一山不能容二虎，而這里有八個母老虎，互相都不能相遇。對於這類問題，沒有太簡便的方法，只能使用窮舉法，就是嘗試所有的組合，每放置一個新的皇后的時候，必須要保證跟之前的所有皇后不能沖突，若發生了沖突，說明當前位置不能放，要重新找地方，這個邏輯非常適合用遞歸來做。我們先建立一個長度為 nxn 的全是點的數組 queens，然后從第0行開始調用遞歸。在遞歸函數中，我們首先判斷當前行數是否已經為n，是的話，說明所有的皇后都已經成功放置好了，所以我們只要將 queens 數組加入結果 res 中即可。否則的話，我們遍歷該行的所有列的位置，行跟列的位置都確定后，我們要驗證當前位置是否會產生沖突，那么就需要使用一個子函數來判斷了，首先驗證該列是否有沖突，就遍歷之前的所有行，若某一行相同列也有皇后，則沖突返回false；再驗證兩個對角線是否沖突，就是一些坐標轉換，主要不要寫錯了，若都沒有沖突，則說明該位置可以放皇后，放了新皇后之后，再對下一行調用遞歸即可，注意遞歸結束之后要返回狀態，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res;
        vector<string> queens(n, string(n, '.'));
        helper(0, queens, res);
        return res;
    }
    void helper(int curRow, vector<string>& queens, vector<vector<string>>& res) {
        int n = queens.size();
        if (curRow == n) {
            res.push_back(queens);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (isValid(queens, curRow, i)) {
                queens[curRow][i] = 'Q';
                helper(curRow + 1, queens, res);
                queens[curRow][i] = '.';
            }
        }
    }
    bool isValid(vector<string>& queens, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            if (queens[i][col] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; --i, --j) {
            if (queens[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < queens.size(); --i, ++j) {
            if (queens[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
};

 

我們還可以只使用一個一維數組 queenCol 來保存所有皇后的列位置，初始化均為-1， 那么 queenCol[i] 就是表示第i個皇后在 (i, queenCol[i]) 位置，遞歸函數還是跟上面的解法相同，就是在當前行數等於n的時候，我們要將 queenCol 還原成一個 nxn 大小的矩陣，並存入結果 res 中。這種記錄每個皇后的坐標的方法在驗證沖突的時候比較簡單，只要從第0行遍歷到當前行，若跟之前的皇后的列數相同，直接返回false，叼就叼在判斷對角線沖突非常簡便，因為當兩個點在同一條對角線上，那么二者的橫坐標差的絕對值等於縱坐標差的絕對值，利用這條性質，可以快速的判斷沖突，代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res;
        vector<int> queenCol(n, -1);
        helper(0, queenCol, res);
        return res;
    }
    void helper(int curRow, vector<int>& queenCol, vector<vector<string>>& res) {
        int n = queenCol.size();
        if (curRow == n) {
            vector<string> out(n, string(n, '.'));
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                out[i][queenCol[i]] = 'Q';
            }
            res.push_back(out);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (isValid(queenCol, curRow, i)) {
                queenCol[curRow] = i;
                helper(curRow + 1, queenCol, res);
                queenCol[curRow] = -1;
            }
        }
    }
    bool isValid(vector<int>& queenCol, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            if (col == queenCol[i] || abs(row - i) == abs(col - queenCol[i])) return false;
        }
        return true;
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/51

 

類似題目：

N-Queens II

Grid Illumination

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/n-queens/

http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3801621.html

https://leetcode.com/problems/n-queens/discuss/19805/My-easy-understanding-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/n-queens/discuss/19808/Accepted-4ms-c%2B%2B-solution-use-backtracking-and-bitmask-easy-understand.

 

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